一个正四面体在平面内的射影

大罕

    射影问题单个看不难：点在平面内的射影是一个点；直线若垂直于平面则其射影为点，否则为一条直线.可是，综合起来看，几何体在平面内的射影是什么？就比较难以把握了.下面就是一个例子.

    一个正四面体在平面上的射影可能是:

    (1)正三角形；

    (2)正方形；

    (3)三边不全相等的等腰三角形；

    (4)等腰梯形；

    (5)一般梯形.

    解答：令人意外的是，以上五个选项均有可能！以下是我们的分析.

   （1）正三角形.如果这个平面就是正四面体的一个侧面即可。

    (2)正方形.两组对边中点连线，这两条直线所在平面

    (3)三边不全相等的等腰三角形.只要这个平面平行于正四面体的一条边即可。

    (4)等腰梯形，暂不说明，因为正方形或者矩形就是一个特殊的等腰梯形，只要(5)成立即可。

    (5)一般梯形。

    (6)一般梯形.设正四面体为ABC-D，过A作AF//BC,AF=BC，连接DF，则ADF组成一个平面.过A作与平面ADF垂直的平面a，则AD,BC在平面a内的射影平行，但是因为AD,BC与平面a所成的角度不一定相等，所以射影的长度不一定相等，也就是射影中的一组对边平行但不一定相等，这就是一般梯形.