双重身份逐峥嵘

----小议一道常见的数列题

大罕

    对于学生来说，下面的题目无疑是道难题. 难在等差数列的部分项组成等比数列，而这些项的序号（下标）十分隐晦，在前景迷茫下，如何找到一条路径直达目标.

    数列{a_n}是公差为d (d≠0)的等差数列，它的部分项：

组成的数列恰为等比数列，其中k₁=1，k₂=5，k₃=17，求k₁+k₂+…+k_n的值.

    分析：a₁，a₅，a₁₇是等比数列的前3项，由此可知，a₅²=a₁a₁₇, 所以a₁=2d，且等比数列的公比为q=a₅/a₁=3，

    以下是关键. 因为 具有双重身份，它既是等差数列{a_n}的第k_n项，又是等比数列{ } 的第n项，所以有

    a₁+(k_n-1)d=a₁q^n-1

    即2d +(k_n-1)d=2d•3^n-1

    解得 k_n=2•3^n-1-1,

   ∴k₁+k₂+…+k_n=2(3⁰+3¹+3²+…3^n-1)-n=3ⁿ-n-1.

    此可谓：双重身份逐峥嵘，一语道破泄天机.