通俗地讲解充要条件

大罕

    条件的充要性，教材叙述得有点绕人：若A则B：那么A是B的充分条件，B是A的必要条件。但是，如果教师讲授得法，其实甚为简单。
    从三个方面予以引导。
    一是定义。用贴切生活的语言加以定义，如下：
    充分条件：充分保证结论成立的条件叫充分条件。
    必要条件：结论成立必不可少的条件叫必要条件。
    充要条件：既是充分又是必要的条件叫充要条件。
    既不充分又不必要的条件：（无须解释）
    二是图示。
    画一个大圆，内含一个小圆。小圆表示命题A，大圆表示命题B。A中的点一定是B中的点，故A是B的充分不必要条件，反之，B中的点不一定是A中的点，可是若连B中的点都不是则不可能是A中的点，故B是A的必要不充分条件。画一个圆，它既表示A，又表示B，这就是充要性。画两个相交或相离的圆，这就是既非充分又非必要条件。
    三是口诀。
    顺推成功是充分，逆推成功是必要，双推成功是充要，双推失败是非非。
    运用口诀时要先确定“身份”，谁是条件谁是结论。条件到结论，叫顺推，结论到条件，叫逆推。
    充要性问题有时较难，其实并非难在判断充分或必要本身，而在于条件A和结论B的隐蔽性。看两个例子：
    例1.△ABC的三边为a,b,c,求证：二次方程x²+2ax+b²=0，x²+2cx-b²=0有一个公共根的充要条件是；∠A=90°.
    分析：此题条件和结论其实都是一个： a²+b²=c²，充要性明摆着了！
    例2.已知集合A={y|y=x²-2x+3,x∈R}，B={x|x＞a}.试证明：“a＞2”是“B真包含于A”的充分非必要条件.
    分析：此题的难点在于a的取值范围。

    思考题:设函数f（x）=ax²-2x-2a,a∈R，若α：-2＜x＜3是β：f(x)＞0的必要非充分条件，求实数a的取值范围。(a≥-2)