什么是点差法？

大罕

   圆锥曲线问题中，若涉及到弦的中点，则一般要考虑能否用点差法。什么是点差法呢？
   先看一个例子：椭圆x²+2y²=2的右焦点为F，直线l过点F交椭圆于A,B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。
   解：椭圆的右焦点F(1,0)，设直线l方程为y=k(x-1)，即k=y/(x-1)，
   设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，
   因为A,B两点均在椭圆上，所以

     x₁²+2y₁²=2，　　　                            ①
     x₂²+2y₂²=2，　　　　　　　　　　　　　　　　　②
   ①-②得:

     (x₁² -x₂²) +2(y₁²-y₂²)=0，
   ∴(y₁-y₂)/(x₁-x₂)=-( x₁+x₂) /[2(y₁+y₂)]         ③
   ③的左边(y₁-y₂)/(x₁-x₂)是直线l的斜率k，且k=y/(x-1) ，
   设弦AB中点为M(x,y)，则x₁+x₂=2x, y₁+y₂=2y,
   于是③的右边(y₁-y₂)/(x₁-x₂)即为-x/2y，
   所以有 y/(x-1)= -x/2y，
   整理得

     x²+2y²-x=0,
   这就是弦AB的中点M的轨迹方程。
   评析：在上述解法中，将A,B两点的坐标设出来，这叫“点”；将两点坐标代入方程后把两个方程相减，这叫“差”。有这两个要害的步骤，我们就把这个方法称为点差法。
   练习：椭圆x²+2y²=2的右焦点为F，直线l过点F交椭圆于A,B两点，若弦AB的中点M的坐标为(1/2,1/4)，求直线l的方程。