一个求函数值域的问题

大罕

　　问题：求函数y=x+√x(2-x)的值域.

　　解：将原函数式移项得y-x=√x(2-x) ,

　　两边平方得　y²-2xy+x²=2x-x²，

　　即　2x²+[-2(y+1)]x+y²=0，

　　∵ x为实数，

　　∴判别式4(y+1)²-8y²≥0，

　　即　-4y²+8y+4≥0，

　　解得1-√2≤y≤1+√2

　　再由函数的定义域0≤x≤2,知y=x+√x(2-x)≥0，且当x=0时y=0，

　　∴函数y=x+√x(2-x)的值域为[0, 1+√2].

　　评析：本题仅用判别式法是不够的，还需考虑函数定义域的制约作用．求值域是中学数学范围的难点问题，由于没有引入导数工具，所以有的问题解决起来甚为困难．而本题属于这类较偏的题，不宜提倡．