例谈中档题的解法

大罕

     什么是中档题？在网上查阅，没找到相关的文字。虽然“中档题”一说无须定义，但是不妨碍大家津津乐道地称谓它。虽然中档题具有相对性，在一些好的学生来看它是简单题，而一些基础较差的学生看来它是难题，但它毕竟具有约定俗成性，也就是说，是否是中档题总是可以大致界定的。
    那么，到底什么的题目是中档题呢？一般来说，一望而知的题目是简单题，写公式套公式的题目是简单题，只转一二个弯就能做出来的题目是简单题。而难题是指大多数学生难以做出的题目。用难度系数来刻划，难度系数在0.85-1的题是简单题，难度系数在0-0.3的题目是难题。所谓中档题，是指介于简单题和难题之间的题。
    在我教的学生中，他们对下面二道中档题，感觉颇为困难，不勇于、不善于运用相关知识，采取有效的手段，顽强地独立地把题目解答出来．
    问题出在哪里呢？ 
   
    第1题：已知y＝f(x)的反函数是y＝f^－1(x)，将y＝f(2x－1)的图像向左平移2个单位，再关于x轴对称后所得到的函数的反函数是(   )．
   A y＝[-3-f^－1(x)]/2  　B y＝[-3+f^－1(x)]/2 　C y＝y＝[3-f^－1(x)]/2  　D y＝[-3-f^－1(-x)]/2 
    
   分析：本题没有具体的函数式，是对抽象函数的图像作平移、对称处理．抽象的函数，正是一些学生的软肋！而且，图像的平移、对称和反函数的求法．这些正是困扰学生的疑点！如何处理呢？铺垫和疏导是必要的，因而要复习和补充如下基础知识：

    ① 图像的平移，反映在函数式上，就是将函数式中的“纯洁的x”加或减（左加右减）一个正数(纯洁二字用在这里特别恰当，学生乐于接受)；

    ② 关于x轴对称的两点的坐标是(x,y)、(x,-y)，即将点(x,y)的横坐标不变，还是x，而纵坐标取反，成为-y；

    ③ 关于反函数，要知道：其一，反函数f-1与原函数f放在一起，它们有“抵消”作用，即f-1[f(x)]=x,，f [f-1(x)]=x；其二，由函数y＝f(x)解得x＝f-1(y)后，互换x,y,得y＝f -1(x)，这就是反函数． 
    解：将y＝f(2x－1)图像左移平移2个单位（以下图像二字从略）——→y＝f[2(x+2)－1]=f(2x+3)，

        它关于x轴对——→-y＝f(2x+3)，

        对此等式两边加f^－1——→f^－1(-y)＝f^－1[f(2x+3)],
        此等式也就是2x+3＝f^－1(-y) ，

        互换x,y,得  2y+3＝f^－1(-x)，

        解得 y＝[-3+f^－1(x)]/2，这就是所求的反函数，所以选B．

   第2题：如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD,SD＝AD＝a,点E是线段SD上任意一点，
     ⑴求证：AC⊥BE；
     ⑵若二面角C-AE-D的大小为60°，求线段ED的长．
   分析：第⑴小题可通过证明AC⊥平面SBD而获证．

    第⑵小题因SA，DA，DC两两垂直，正好建立空间直角坐标系，所以学生极易想到采用空间向量解答此题．然而，二面角问题需求法向量，而学生对法向量很不熟悉，致使运算无法进行到底．其实，运算过程并非想像的艰难，只要坚持就能成功．其过程如下：

    如图，建立直角坐标系，设ED=m，则A(a,0,0)，C(0,a,0)，
E(0,0,m)，
    则向量AC=(-a,a,0)，向量AE=(-a,0,m)
    设平面AEC的法向量为n₁=(u,v,w)，则由n₁⊥AC，n₁⊥AE，得
    -au+av=0，且-au+mw=0，
    取u=1，可得v=1,w=a/m，
    所以n₁=(1,1,a/m)，
    由CD⊥平面AED，可知平面AED的法向量为n₂=(0,a,0)
    现已知二面角C-AE-D的大小为60°，所以法向量n₁与n₂的夹角为60°或120°(120°不合题意，舍去)，
    代入向量夹角公式，cos< n₁, n₂>=( n₁n₂)/( |n₁||n₂|), 可算得m=√2a/2．

    实际上，本题用传统的方法更为简捷．只要作出二面角C-AE-D的平面角，此题便可迎刃而解．

    怎样作出平面角？

    要充分利用CD⊥平面AED，为此过D作DF⊥AE于E点，连接CF，则由AE⊥CD，且AE⊥DF可知，AE⊥CF，于是∠CFD就是二面角C-AE-D的平面角．设ED=m，DF=am/√(a²+m²)，在Rt△CFD中， tan60°=CD/DF，由此可算得m=√2a/2．