给定区间的二次函数

大罕

    二次函数y=ax²+bx+c(x∈D，D是一区间)的最值问题，看其图像便一目了然。画图的关键，是抛物线的对称轴与给定区间的相关位置。为了抓住这个关键，建议教给学生如下的格式。

        y=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/4a,

        对称轴：    x=-b/2a

        给定区间：x∈[m,n]

    粗略考虑，有三种情形：

     ⑴对称轴在区间之左：x< SPAN>；

     ⑵对称轴在区间之内：m ≤x≤n；

     ⑶对称轴在区间之右：x>n.

     (精细考虑，还要考查对称轴在区间之内时的偏左或偏右。)

    格式可理解成为一种程序。遇到一类问题按程序办事，可操作性极强，从而保证讨论时的不遗不漏和从容不迫。

    下面我们以2002年普通高校招生统一考试数学（理科）第21题为例。这道题是：

    设a为实数，函数f(x)=x²+|x-a|+1，x∈R，

    ⑴讨论 f(x)的奇偶性；

    ⑵求f(x)的最小值。

    分析：本题的第⑴小题很容易，对a=0和a±0两种情况加以讨论，不难得到结论。

    难在第⑵小题。具体地说，从解开绝对值的需要，必须对x的范围加以讨论，分为x≤a和x>a两种情况加以讨论；同时，从函数图像（抛物线）的对称轴与给定区间的相对位置的考查，又必须对a加以讨论。

    当x≤a时，
    函数f(x)=x²-x+a+1=(x-1/2)²+a+3/4，
     对称轴：    x=1/2

     给定区间：x∈[-∞,a）

    ⑴对称轴在区间之左,即a<1/2时，函数f(x)在(-∞,a]上单调递减，它的最小值为f(a)=a²+1；

    ⑵对称轴在区间之内或之右，即a≥1/2时，f(1/2) ≤f(a)，则函数在f(x)在(-∞,a]上的最小值为f(1/2)=a+3/4；

    当x≥a时，
    函数f(x)=(x+1/2)²-a+3/4，
     对称轴：  x=-1/2

     给定区间：x∈[a,+∞]

    ⑴对称轴在区间之左,即a<-1/2时，函数f(x)在[a,+∞）上，f(-1/2) ≤f(a)，则它的最小值为f(-1/2)=3/4-a；

    ⑵对称轴在区间之内或之右，即a≥-1/2时，函数在f(x)在[a,+∞)上单调递增，函数f(x)在[a,+∞)在上的最小值为f(a)=a²+1，

    综上，当a≤-1/2时，函数f(x的最小值为3/4 -a，当-1/2时，函数f(x的最小值为a²+1 ，当a>1/2时，函数f(x的最小值为a+3/4.，