函数y=f(x+a)的反函数是y=f^-1(x+a)吗?
大罕

   我们知道,函数y=f(x)的反函数一般记为y=f^-1(x)。那么，函数y=f(x+a)的反函数是y=f^-1(x+a)吗？许多学生弄不清楚这个问题。上海市2009年高考理科第22题，就是针对这一状况而精心设计的。
   题目：已知函数y=f(x)的反函数是y=f^-1(x)，定义：若对给定的实数a(a≠0)，函数y=f(x+a)与y=f^-1(x+a)互为反函数，则称y=f(x)满足“a和性质”；若函数y=f (ax)与y=f^-1(ax)互为反函数，则称y=f(x)满足“a积性质”。
    ⑴判断函数g(x)=x²+1(x>0)是否满足“1和性质”，并说明理由；
    ⑵求所有满足“2和性质”的一次函数；
    ⑶设函数y=f(x)(x>0)对任何a>0，满足“a积性质”,求y=f(x)的表达式。
    解:（1）函数g(x)=x²+1(x>0)的反函数是g-¹(x)=√(x-1)(x>1),
    ∴g^-1(x+1)=√x  (x>0),
    而g(x+1)=(x+1)²+1(x>-1),其反函数为y=√(x-1)-1 (x>1),
    故函数g(x)=x²+1(x>0)不满足“1和性质”.
    评注:我们清楚地看到, 函数y=f(x+a)的反函数并不是y=f^-1(x+a)。

   （2）设函数f(x)=kx+b(x∈R)满足“2和性质”，k≠0,
     ∴f^-1(x)=(x-b)/k(x∈R), f^-1(x+2)=(x+2-b)/k,
     而f(x+2)= k (x+2)+b(x∈R),得反函数y=(x-b-2k)/k,
     由“2和性质”定义可知(x+2-b)/k=(x-b-2k)/k对(x∈R)恒成立,从而可得k=-1,

     于是所求一次函数为f(x)=-x+b。

    评注： 一般来说，函数y=f(x+a)的反函数并不是y=f^-1(x+a)。有没有特例呢？这里给出了：存在唯一一个具有“2和性质”的一次函数y=-x+b。
  （3）设a>0，x₀>0，且点(x₀ ,y₀)在y=f(ax)图像上，则(y₀ , x₀)在函数y=f^-1(ax)图象上，有
         f(ax₀)=y₀ ,                                              ①
      且f^-1(ay₀)=x₀ ,                                             ②  
     由②得   ay₀= f(x₀)  ,                                       ③
     ①两边都乘以a,得ay₀=af(ax₀) ,                                ④
     由③④知  f(x₀)=af(ax₀) ,                                    ⑤
     令ax₀=x, 则a=x/x₀,
     于是由⑤得f(x₀)=(x/x₀)f(x), 即
       f(x)=x₀f(x₀)/x,                                            ⑥
    观察⑥,它具有f(x)=k/x(k≠0)的形式,且f(ax)=k/ax,其反函数是y=k/ax，而f^-1(ax)=k/ax,故y=f(ax)与y=f^-1(ax)互为反函数。