关于导数的两道试题(09年高考湖北卷)

撰文/大罕

    有朋友问到09年高考湖北卷中的两道题,回答如下:

【第9题】

    设球的半径为时间t的函数 。若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径

      A.成正比，比例系数为C             B. 成正比，比例系数为2C             

      C.成反比，比例系数为C             D. 成反比，比例系数为2C   

  剖析

    这道题重点考查导数概念的运用。什么是导数？导数就是速度，密度，……凡是有关比率的数学对象都可以列为导数概念的外延中。其次，本题要求“球的表面积的增长速度与球半径”之间的比例关系，前者是导函数，后者是函数，两个变量的比是学生所不熟悉的，由此可见，要加强对导数概念的教学，训练各种数学对象的描述与计算。

   解答

    由题意可知球的体积为V(t)=(4/3)πR³(t)，

    则c= V′(t)=4πR²(t) R′(t)，

    由此可得c/[R(t)R′(t)]= 4πR(t)，

    而球的表面积为S(t)= 4πR²(t)，

    ∴ v_表=S′(t)= 8πR(t) R′(t)=(2c)/R(t),

    故选D

【第14题】

    设f(x)= f′(π/4)cosx+sinx, 则f(π/4)的值为         

剖析

    本题的关键是要清醒地认识到f′(π/4)是一个常数，这才敢于对题设等式两边取导，接着取导函数值，得到关于f′(π/4)的一个方程，从而把它求出来。于是题设等式中的待定值获得确定，最后求f(π/4)的值就易于反掌了。教学中有时也要强调一些不经眼的地方,例如导函数值是一个常数,这是人们熟知但遇到情况后又会忘记的细节,这类细节的注意,主要靠学生自己领悟,教师也应在适当的时候点拨点拨.

解答

    对等式f(x)= f′(π/4)cosx+sinx, 两边取导数，得

     f′(x)=- f′(π/4)sinx+cosx,   

     ∴f′(π/4)=-(1/√2)f′(π/4)+(1/√2),   

    由此可以算出 f′(π/4) =√2+1,

     ∴f(x)= (√2+1) cosx+sinx

     ∴f(π/4)= (√2+1)(1/√2) +(1/√2)=1.