拨雾见晴天  妙手定乾坤

      撰文/大罕

    以下是一道填空压轴题，它出于上海市浦东新区2009年高考数学模拟试卷：
    已知f(x)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x，若关于x的方程f(x)=kx+k+1在[-1,3]内恰有4个不同的根，则k的取值范围是             .
    分析: 函数f(x)的图象是什么？由条件“当x[0,1]时f(x)=x，以及f(x)是以2为周期的偶函数”,不难得到其图象如下图（左图）所示.
    接着考查“关于x的方程f(x)=kx+k+1在[-1,3]内恰有4个不同的根”.一般方法是把方程两边分别看成函数，再考察这两个函数的图像的交点，交点的横坐标就是方程的根.因此,本题实际上要在考虑折线y=f(x)与直线y=kx+k+1在[1,3]内恰有4个不同的根的情况下,求出k的取值范围.
    函数y=f(x)的图像刚才已经给出，它是定义在区间[-1,3]上的一条“锯齿”型折线.
    那么，函数y=kx+k+1的图像是什么呢？当然是直线型的，但因为k是变化的，所以它应该是直线束（直线的集合）.
    以下的关键是，要意识到它是过某定点的直线束,理由是:把函数解析式y=kx+k+1变形为
     k(x+1)+(1-y)=0,
    这表明,解析式的图像必过定点，此定点由方程组
    x+1＝0且1-y=0所确定,
从而可知此定点为(-1,1).
    巧得很，点(-1,1)正好是折线y=f(x)（x∈[-1,3]）的左端点(如下的右图所示)！
    因此,要符合题意,就要考查过定点(-1,1)的直线y=kx+k+1在哪些情况下,能与折线折线y=f(x)（x∈[-1,3]）有四个交点.
    从极端情形入手.当k=0时,直线y=1与折线恰有三个交点,但直线往下偏一点点,就与折线有四个交点了,可见k=0是边界值之一.又当直线经过点(2,0)时,直线y=x-2与折线恰有三个交点,但直线往上偏一点点,就与折线有四个交点了,此时直线的斜率k=-1/3,可见k=-1/3也是边界值之一.
    由此可以得出k的取值范围是(-1/3,0).
    这道涉及的知识不算少,还需要机敏的思维能力,如果想不到直线束是过定点的,那就会走一些弯路,把方程y=kx+k+1和y=-x联立,也会发现它们必交于定点,这就耽误时间了啊,真可谓:拨雾见晴天妙手定乾坤.