意译法——解题的重要方法

撰文/大罕

    虽然直译法是数学解题中最直接的最基本的方法，但它并不能“包打天下”.意译法，也称为转化法或化归法，它指将题设的条件或结论加以转化从而获解.这是一种间接的方法，迂回包抄，起伏跌宕，出奇制胜，也是一种常用的重要的方法.

    转化可以从各种方向考虑，为达目的而不择手段.

    一、从几何方向考虑，有图像法：转化为几何意义，利用图形的直观性.

    例1 如果2x+5y≥1，求函数f(x,y)=x²+y²+4x-2y的最小值.

    分析:不等式2x+5y≥1的几何意义是平面直角坐标系中位于直线2x+5y=1右上方的半平面区域（包含边界），

      f(x,y)=(x+2)²+(y-1)² 表示此区域内的点(x,y)到定点(-2,1)的距离，

     要求函数f(x,y)的最小值，就是要求定点(-2,1)到边界直线2x+5y=1的距离.

    二、从代数方向考虑，有变换命题法:通过转变视角，使问题清沏见底.

    例2 已知函数y=lg(1+2^x+a.4^x)/7在(-∞,1]上有意义，求a的范围.

    分析：将问题转化为1+2^x+a.4^x>0在(-∞,1]上恒成立，即a>-[(1/2)^x+(1/4)^x]对(-∞,1]恒成立，

    此式的右边视是关于x的函数，可设g(x)= -[(1/2)^x+(1/4)^x]，

    问题又转化为求函数g(x)的最大值，a只需大于g(x)的最大值即可，

    而g(x)在(-∞,1]上是增函数，所以g(x)_max= g(1)=-3/4

     ∴ a>-3/4为所求.

    例3 对于任意的a∈[-1,1]，函数f(x)=x²+(a-4)x+4-2a恒大于零，求x的范围.

    分析：本题已知参变量a的范围，求自变量x的范围，一反常态，令人颇为棘手.不妨反客为主，将函数以a为线索重新整理，有f(x)=x²+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+(x²-4x+4),

      即g(a)= (x-2)a+(x²-4x+4) a[-1，1],

      函数g(a)（a∈[-1,1]）表示一条线段，

      要求g(a)在区间[-1,1]恒大于0，只需g(-1)>0,g(1)>0,

      ∴ (x-2)(-1)+( x²-4x+4))>0, 且(x-2)+( x²-4x+4))>0,

      ∴解得x<1，或x>3.

    三、从三角方向考虑，有换元法:通过三角换元简捷地解决问题.

    例4 已知x,y满足(x-2)²/4+(y-1)²=1，则(x+1)/y的最小值是      .

    分析：本题条件形如cos²α+sin²α=1，因此可考虑换元，

     令x=2+2cosα ，y=1+sinα , 则(x+1)/y=(3+2cosα)/ (1+sinα) ，

     第二次换元，令m=(3+2cosα)/ (1+sinα),

     则m(1+sinα)=3+2cosα,

     ∴√(m²+4)sin(α-θ)= 3-m（θ是辅助角）,

     ∴sin(α-θ)= (3-m)/√(m²+4),

     ∴|(3-m)/√(m²+4)| ≤1,

     解得m≥5/6，所以(x+1)/y的最小值是5/6.    

     此可谓：

     直译失效转意译，

     巧妙化归显神力．

     命题等价形式变，

     一旦突破皆双喜．

     以下题目可供练习:

     1.已知x,y满足(x-1)²+(y+2)²=20，则x²+y²的取范围是            ．

     2.若点P(x,y)满足x²+y²=4，则a+b最大值是            ．

     3.若3x+4y=5，则(x-2)²+(y-1)²最小值为             ．

     4.在直线2x-y-5=0上求一点M,使它到点A(-7,1), B(-5,5)的距离之和最小，求点的坐标．

     5.已知a,b,c为直角三角形三边边长，c为斜边，点(m,n)在直线ax+by+2c=0上，则m²+n²的最小值是    ．