解析几何中，拿什么求范围？

撰文/大罕

　　解析几何中，求范围是难点问题．难在无从下手．

　　方法一：把所求对象归结为点的位置，由于点的位置是有范围的，因而可以用不等式表示，解不等式，从而获解．

　　例1．点A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA=π/2，则椭圆的离心率的范围是_________．

　　解析：设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1(a＞b＞0)，

　　　以OA为直径的圆： x²－ax+y²=0，

　　　两式联立消y得(a²-b²)x²/a²-ax+b²=0，

　　　即e²x²－ax+b²=0，

　　该方程有一解x₂，一解为a，由韦达定理，x₂=a/e²-a，

　　　∵0＜x₂＜a，∴0＜a/e²-a＜a，

　　　∴√2/2＜e＜1  

　　方法二：把所求对象归结为方程组的解问题，由于消元后的二次方程的根的范围可以用不等式组表示，从而获解．

　　例2．已知直线y=kx－1与双曲线x²－y²=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l经过点P(－2，0)及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．

　　解：设A(x₁,y₁）,B(x₂,y₂),

　　　由y=kx-1和 x²-y²=1联立，消去y得 (1－k²）x²+2kx－2=0,

　　　又∵直线AB与双曲线左支交于A、B两点，

　　　故有以下四个不等式：

　　　　△=(2k)²+8(1-k²)>0,①

　　　　x₁+x₂=-2k/(1-k²)<0,②

　　　　x₁x₂=-2/(1-k²)>0,③

　　　　1-k²≠0,④

  　　解这个方程组，得

　　　　－√2＜k＜－1.

     方法三：把所求对象归结为一元二次方程有实根的问题，其判别式非负，解不等式从而获解

     例3．已知抛物线y=x²－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________   (－∞,－3 ∪ 1,+∞)

     解： 设P(t,t²－1)，Q(s,s²－1)

     ∵BP⊥PQ,

     ∴[(t²-1)/(t+1)][(s²-1-²+1)/ (s-t)]= -1,

     ∴t²+(s－1)t－s+1=0

     ∵t∈R,

     ∴Δ=(s－1)²+4(s－1)≥0  

     即 s²+2s－3≥0,

    解得s≤－3或s≥1 ．

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