第七届全国初等数学研究学术交流会论文（2009.8.7.深圳）

  空间闭折线的全曲率

王方汉(大罕)

    折线是由直线段首尾相接而成的，弯折只发生在顶点处，衡量弯折程度的是顶点处的外角．所谓外角，是指一条边的延长线与邻边的夹角（参见图1）．折线的外角和k=α₁+α₂+…+α_n是衡量折线的总的弯曲量，称为全曲率．

    顶点在同一平面内的闭折线，称为平面闭折线．顶点在空间U的闭折线，称为空间U的闭折线．

    平面几何告诉我们，n边形的外角和为2π．即全曲率为2π．

    那么，平面的和空间的闭折线的全曲率等于多少？   

    定理1^[1]：若有向的n边平面闭折线的环数为t（t∈Z），则它的全曲率为2tπ．

    证明：平面闭折线A₁A₂…A_nA₁在顶点A_i处的折角为α_i（i=1,2,…,n）（参见图2），当我们遍历闭折线依次经过n个顶点时，共转了n个弯，转过的角度（即折角）为α_i，而实际上共转过了t环，转过的角度共有2 tπ，所以平面闭折线的全曲率为2tπ．（证毕) 

    例如，n边平面简单闭折线（无论是凸的还是凹的）的全曲率为2π，因为它的环数为1．

    文献[2]第四章§1习题1指出：设L是平面上的n边形，而且设L是凹的．试证明，L的内角和是(n-2)π,但是L的外角和（全曲率）大于2π．

    此命题显然是针对无向的凹n边形而言的．按照本文的观点，此命题的前半部分无须修改，但后半部分应修改为“凹n边形的全曲率等于2π”．

    图3是有向的凹n边形A₁A₂…A_nA₁的某一个凹的局部，图中只显示A_i-1,A_i,A_i+1三个顶点，其中A_i是凹顶点．

    顶点A_i-1,A_i,A_i+1处的折角对全曲率的贡献是∠1+∠2+∠3+∠4+∠5，

    连接A_i-1A_i+1，实际上是填平了凹去的这一局部使之成为凸的了．我们再看，此时A_i-1，A_i+1处的折角对全曲率的贡献是∠1+∠5，

    从折角∠2,∠3,∠4的绝对值来说，有∠3＝∠2+∠4（三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和），从有向角的方向看∠3与∠2、∠4正好相反，所以∠2+∠3+∠4＝0，因此∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝∠1+∠5，它们对全曲率的贡献是相同的．   

    对有向的凹n边形A₁A₂…A_nA₁所有的凹顶点的局部都这样处理，那么可得到一个有向的凸的n边形．而凸n边形的全曲率为2π，所以凹n边形的全曲率也等于2π．

    关于空间简单闭折线的全曲率，有如下

    定理2：(芬舍尔定理1929年)^[2]：设L是空间中的简单闭折线，那么L的全曲率不小于2π，当且仅当L是平面上的凸多边形时，全曲率才等于2π．

    本文对芬舍尔定理作如下修改：

    设L是空间中的简单闭折线，那么L的全曲率不小于2π，当且仅当L是平面上的多边形时，全曲率才等于2π．

    为了证明修改后的定理，介绍方向球面概念和一个引理．

    以空间内一点O为球心作半径为1的球面，此球面上任一点就能确定一条射线OM，这就确定了空间中的一个方向；反过来，给定空间中一个方向，从点O出发，沿着这个方向作射线必与此圆相交于一点M．这样，空间中的方向与球面上的点一对一地对应起来了．这个球面就叫做方向球面．

    引理：设ABC是折线，若折线在B处的外角为β，则使折点B突出的方向（所谓从某方向使折点突出，是指该方向与AB,CB都成锐角）在方向球面S上所点面积为2β．

    证明：不妨以折点B作为方向球面S的球心．作过A,B,C三点的平面E，及垂直于E的直径PP′，那么使折点B突出的方向在球面上所构成的图形，是以PP′为棱的一个二面角在S上截出的月牙形，该二面角的两个面分别垂直于AB和BC （参见图4）．由于二面角所截出的月牙形的面积等于二面角大小的二倍，而折线在B处的外角为β，即二面角的大小为β，所以二面角所截出的月牙形的面积为2β，即使折点B突出的方向在方向球面S上所占面积为2β． 

   以下证明修改后的定理2：

   现在设L＝A₁A₂A₃…A_n-1A_nA₁是空间中的简单闭折线，折点A_i处的外角是α_i ,使折点A_i 突出的方向所构成的方向球面S上的月牙形记作T_i．

    我们把空间中的一个方向称为好的，如果它与L的各段A₁A₂, A₂A₃,…,A_nA₁都不垂直．在沿好的方向看来，折点A₁, A₂,…, A_n中总有一个最高，是顶峰．所以每个好方向都至少使一个折点突出，这就是说，由引理知，好方向的集合H包含于月牙形T₁,T₂,…,T_n的并，即H T₁∪T₂∪…∪T_n．于是H的面积不小于诸T_i的面积之和．然而我们已经知道月牙形的面积是T_i，所以， 

    2α₁+2α₂+…+2α_n≥4π，即L的折角和

    α₁+α₂+…+α_n≥2π，

并且当闭折线是凸的平面n边形时，T₁,T₂,…,T_n两两的交集均为空集，且恰好不多不少地铺满整个方向球面，上述式子取“＝”号．

    当闭折线是凹的平面n边形时，由本文定理1知，凹n边形的全曲率也等于2π，上述式子取“＝”号．

参考文献：

    [1]王方汉著，五角星•星形•平面闭折线，华中师范大学出版社，2008年12月．

    [2]姜伯驹著，绳圈的数学，湖南教育出版社，1991年12月．

火苗（格格）