高中数学基础知识（1）

撰写/大罕 

一 集合，方程，不等式

  1．元素与集合：∈，∈；集合与集合： ， ；

  2．集合的运算：交集A∩B：公共部分；并集A∪B：补集C_UA：所有部分。

  3．解二次不等式、一次分式不等式、绝对值不等式：大于在两边，小于在中间。

  4．不等式解集的端点值是相应方程的根。

  5．不等式的性质：对称，传递，同加，同乘，同乘方。

  6．基本不等式：a+b≥2√(ab)  一正二定三等；

               变招：ab≤[(a+b)/2]²。

二 函数的图像与性质

  7．函数的定义域：自变量x的取值范围，图像的横向范围。

   求定义域：列不等式，其根据是：分式分母非零；二次根号同非负；对数的真数为正。

  8．函数的值域：函数值y的取值范围，图像的纵向范围。

   求函数值域方法：顺推法，逆求法，判别式法，换元法，图像法。

  9．函数的图像画法：

    直接画图：列表，描点，画图。

    关系得图：y=f(x) —→ y=f(x+a)   左加右减  例如y=2x²—→y=2(x+1)²

              y=f(x) —→ y =f(x)+b  上加下减   例如y=2x²—→y=2x²－2

              y=f(x) —→ y=|f(x)|    上留下翻  例如y=sinx—→y=|sinx|

              y=f(x) —→ y=f(|x|)    右留翻左  例如y=sinx—→y=sin|x|

    三角函数图像的变换：

              y=f(x) —→ y=f(ωx)    周期变换(横坐标扩大或缩小)  

             例如y=sin(x+π/3)—→y= sin(2x+π/3)  横坐标缩小到原来的1/2倍

              注意与平移的区别：y=sinx—→y= sin(x+π/3)   向左平移π/3个单位

             y=sin2x—→y= sin(2x+π/3) 向左平移π/6个单位

             y=f(x) —→ y=Af(x)     振幅变换(纵坐标扩大或缩小)

            例如y=sinx—→y=2sinx               纵坐标扩大了原来的2倍

  10．函数的奇偶性：前提是定义域是呈对称性的

      奇函数：f(-x)=-f(x)，    例如f(x)=x^-1，f(x)=sinx  图像关于y轴对称；

      偶函数：f(-x)=f(x)=f(|x|)，例如f(x)=x²，f(x)=cosx.  图像关于原点对称。

  11．函数的单调性：前提是在定义域或给定区间内考察

      任取x₁<x₂, 若y₁<y₂，则y=f(x)是增函数或增区间，增函数顺着来；

      任取x₁<x₂, 若y₁>y₂，则y=f(x)是减函数或减区间，减函数反着来；

  12．反函数：

     求法――先求原函数的定义域和值域；再用y表示x，然后互换x,y，最后写答案(反函数的定义域是原函数的值域)

     图像：互为反函数的两个函数图像关于直线y=x对称。

  13．含绝对值的函数：去掉绝对值符号成分段函数或用翻折法画出图像。

三 常见函数研究

  14．二次函数y=x²-4x+1 (a≠0)的最值：配方得y=(x-2)²+5，对称轴x=2，y_最小值=5.

     带区间的二次函数y=x²-2ax+1(x∈[-1,2]) ，对称轴x=a，

     图像运用：不考虑区间画图，在区间内取图，然后看图。

     讨论指标：对称轴在区间左、中、右(即a<-1, -1≤a<2,a≥2)

  15．指数函数与对数函数(它们互为反函数)：

     指数运算：x^m+n=x^mxⁿ, x^2m=(x^m)²

     对数运算：log₂1=0，log₂2=1，log₂4=log₂2²=2，log₂8=log₂2³=3,

     对数恒等式2^log₂³=3

     指数函数：y=a^x,    a>1增函数，0<a<1减函数；  

     对数函数：y=log_ax, a>1增函数，0<a<1减函数。

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