空间问题转化为平面问题
－－解立体几何的关键

撰文/大罕

    学好立体几何的关键是具有一定的空间想象能力，善于把空间的问题转化为平面的问题。在复杂的立体几何问题中，要清楚地把握空间图形中的相对位置关系。  
    关于思路，首先，立体几何与平面几何是大体相同的。例如“执果索因”（从结论出发加以分析）和“顺藤摸瓜”（从条件出发加以分析），这样的方法是常用的。
    下面举一例子说明这个问题：
    例１　如图：AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，AB＝AC，过点A、D的圆与AB、AC分别交于点 E、F，弦 EF 与 AD 相交于 M，
     ⑴ 求证：△CDF∽△EDM 相似. 
      ⑵ 求 BC＝2 时，AE+AF 的长.
    分析：(1)注意到
     ∠FCD＝45°,∠MED=∠FAD=45°,
     欲证△CDF∽△EDM，需证∠DFC＝∠EMD，
     ∠DFC＝∠AED，于是需证∠AED＝∠EMD，
     而在△AED和△EDM中，∵∠EAD=∠EDM=45°, ∠ADE＝∠EDM(同角相等)，
     ∴∠AED＝∠EMD可得证。
    (2)从略
     从以上分析可以看出，思路是“执果索因”。
    例２　直二面角D-AB-E中，四边形ABCD为边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥面ACE
    ⑴求证：AE⊥面BCE；
    ⑵求二面角B-AC-E的大小；
    ⑶求点D到平面ACE的距离。
    分析：
     ⑴取AB中点Ｈ，连EH,由三垂线定理知AE⊥BC,又由BF⊥面ACE可知AE⊥BF，从而可得AE⊥面BCE；
     ⑵取AD中点G，连GH交于Ｍ,
    由三垂线定理知EＭ⊥ＡC,从而∠EＭＨ是二面角B-AC-E的平面角，易知∠EＭＨ＝arctan√2
    从以上分析可以看出，思路是“执果索因”与“顺藤摸瓜”相结合。
    一般地，在立体几何中，要求二面角的大小，一般就必须作出二面角的平面角，而作二面角的平面角有三种常见的方法：定义法、三垂线定理法、垂面法，至于你要选择哪一种方法，就需要从条件出发加以推理。这就是所谓的顺藤摸瓜。

     其次，转化是常用的思路。例如，求证一条直线平行于一个平面，就可以转化为证明这条直线平行于这个平面内的一条直线，或者证明这条直线所在的平面平行于那一个平面。象这样的题型不是很多，自己可以加以总结。

    第三，把立体问题分解成若干个平面的问题，这也是常用的。例如求二面角的大小，最终要转化为其平面角的大小，而平面角在某一个三角形内。在计算这个三角形的边长时，就要分别在与其相邻的三角形中加以计算。这就是所谓的分解。它与转化是联系在一起的，但思路上有所区别。

    最后，“完形”这又是一条重要的思路。把角的两边上各取一点连接起来，就形成了三角形；把空间四边形的对角线连接起来，就构成了一个三棱锥的框架；在一个正方体的旁边再加一个正方体，这些，都是完形的思路。

   学习立体几何要过好三关：符号关、画图关和转化关。

    符号关，是指在立体几何中借用了集合符号来表示直线与平面的关系，但这并不等同于集合符号。

    画图关，是用平面图形（直观图）来表示立体图形。要注意两点：
    一是直线与平面关系位置关系的“规范”画法。例如，画直线与平面平行，就要画成这条直线与表示平面的平行四边形的长边框平行；画直线与平面垂直，就要画成这条直线与表示平面的平行四边形的长边框垂直。
    二是特别注意空间图形中的前后遮盖关系，被遮盖的线必须画成虚线。否则，可能对我们解立体几何题带来负面影响。
    转化关是指把空间问题转化为平面问题来解决。例如，异面直线所成的角，就用与这两条异面直线平行的相交直线所成的角来表示，直线与平面平行转化为直线与直线平行。
    如果这三关过好了，学立体几何就入门了。有的同学这样说，学立体几何比平面几何要容易一些。这是他（她）很好地过了这三关的缘故。总的来说，高中阶段的立体几何问题一般来说不会是很难的。只要你具有空间想象能力和转化能力，就不会出现思路闭塞的情况。

付娜（佛筝）：佛说