空间图形巧妙放置，字母安排颇具匠心

大罕教学札记之4

撰文/大罕

    虽然空间图形的放置并非数学问题的实质，但是解题时的难易与图形放置有关这也是不争的事实。

    在作图中，图形放置后，其顶点处往往要安上字母。放置方式不同，所显示的字母当然也不同。

　　对于同样一个立体几何题，若字母安排得恰当，则可收事半功倍之效果，反之则欲速则不达。例如，正方体是大家所熟知的，你瞧，多么“正规”的几何图形！作图时可以随便安字母吗？回答却是否定的。

    请看下例：

    在棱长为a的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为C₁D₁、B₁C₁的中点，求直线A₁D与平面EFBD所成的角。

    图1中，图形放置（注：它通过字母表达的）显然欠佳，其一，直线A₁D“躲”在梯形平面块EFBD的后面；其二，更糟糕的是，线段A₁D与CD有遮盖现象。而图2则较好——直线A₁D大大方方地在梯形平面块EFBD的左侧边，空间关系在此一目了然。

　　可是，图２适于用常规方法（逻辑推理法）推算直线A₁D与平面EFBD所成的角，而用解析法（利用空间向量知识）解此题时，在确定平面EFBD的法向量时，空间点的坐标稍嫌繁琐，而图３中Ｅ、Ｂ、Ｄ及A₁点的坐标写起来较为“舒服”，从而带来些许方便。

　　解数学题的过程中，充满着谋略和睿智，既要大处着眼，又要小处使力。巧妙放置空间图形，从字母安排中，可以看出解题人的匠心独具。做为教师，既要教学生的解题思路，在诸如此类的“小节”上亦应提醒学生，谈不上醍醐贯顶，而不厌其详地加以点化，则如同播下机敏的种子。

链接：大罕教学札记连载文章：

之1铺路搭桥 水到渠成  http://blog.sina.com.cn/s/blog_4aeef05d0100angf.html

之2三垂线定理：http://blog.sina.com.cn/s/blog_4aeef05d0100anxf.html

之3通项分析以寻找结构，原汁原味以浸润诸项http://blog.sina.com.cn/s/blog_4aeef05d0100arbg.html

甘素玫《往前飞》