通项分析以寻找结构，原汁原味以浸润诸项

——大罕教学札记之三

撰文/大罕

    数列的通项公式，可以看成是一种结构式，即项a_n可以将项数n通过某些运算而得到．说到底，运算过程是一种结构．

    利用通项公式的结构性，以完成数列的求和，这是我们常用的方法与技巧．

    可是，学生初学这一内容时，由于对于结构的重要性认识不足，或因教师教学不得法， 解题时往往陷入盲目性．

    例1．已知数列{a_n}的通项公式为a_n =10n-n²，求前n项的和S_n．

    学生在做此题时，把a₁ =1,a₂ =16,a₃ =21,a₄ =24，……逐个算出，这可坏了大事。何故？诸项的结构荡然无存！保持结构，方能原汁原味。又如

    例2．已知数列{a_n}：1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，……，求前n项的和S_n．

    解此题时，寻找通项公式应是首要的任务。根据前4项的提示，通项应为a_n=(2n-1)+2n+(2n+1)+…+(3n-2)，其结构尚不明显，故要对其先行求和（可称为局部求和），遂得到

        a_n=5n²/2-3n/2，

这就好了，结构分明，于是a₁ =5/2-3/2,a₂ =5×2²/2-3×2/2,a₃=5×3²/2-3×3/2,……，下面就可以对a_i  (i=1,2,3,……,n)求和了（可称为全局求和）．

    由旧数列引向新数列，是让学生饶头的问题．请看

    例3．设a_n=4n-2，b_n=(1/2)( a_n/a_n+1+ a_n+1/a_n)，求数列{b_n}前n项的和．

    一般来说，学生看到此题时心里会发怵，性急的人马上对其通分，即刻进入死机状态，接下来就是一筹莫展。殊不知，只需对{b_n}的通项进行分析即可．

    将a_n=4n-2和a_n+1=4n+2代入b_n=(1/2)( a_n/a_n+1+ a_n+1/a_n)中，变形可得b_n=1+1/(2n-1)-1/(2n+1),这就可以用来求和了。

    下面一例，初看会觉得茫然：

    例4．设等差数列{a_n}中，a₁=1，d=2，依次抽出这个数列的第1,3,3²,…,3^k+1,…项，组成数列{b_n}，求数列{b_n}的通项公式及前n项及前n项的和S_n．

    易知a_n=2n-1，数列{b_n}的第n项b_n=3^n-1就是数列{a_n}的第3^k-1项，因此b_n=2×3^n-1-1,那么，数列{b_n}前n项的和S_n就手到擒拿了．

    此可谓：通项分析以寻找结构，原汁原味以浸润诸项．

琴瑟和鸣