琐谈排列

一、推导排列数公式时，要认清是做什么事

我们知道，从n个不同元素中任取出m个元素，按一定的顺序排成一列，叫从n个不同元素中任取出m个元素的一个排列，所有的一个排列的个数叫n个不同元素中任取出m个元素的排列数，记为A_n^m。

这里的 “事”是什么？遗憾的是，绝大多数学生不能正确地回答出来。

事：从n个不同元素中任取出m个元素组成一个排列。

做事：假定有m个格子，编号为1号格，2号格，3号格，……，m号格，以下分m个步骤做完这件事情。

第1步，给1号格里放一个元素，有n种取法；

第2步，给2号格里放一个元素，有n-1种取法；

第3步，给3号格里放一个元素，有n-2种取法；

……，

第m步，给m号格里放一个元素，有n-(m-1)种取法，

由乘法原理，共有n(n-1)(n-2) ……(n-m+1)种不同的取法。

∴ A_n^m =n(n-1)(n-2) ……(n-m+1) ⑴

二、要熟练掌握排列数公式

公式⑴称为排列数公式的连乘积形式。

排列数公式还有另外一种形式——阶乘商形式，即

A_n^m =n!/(n-m)! ⑵

公式⑴称为排列数公式的连乘积形式。

例1 求证A_n+1^m=A_n^m+ m A_n^m-1

证明：左边=n!/(n-m+1)! ，

右边=n!/(n-m)! +m n!/(n-m+1)! =n!/(n-m+1)!，

左边=右边，得证。

例2 已知A_2n³ =10A_n³ ，求n的值。

解：已知等式可化为

2n(2n-1)(2n-2)=10n(n-1)(n-2),

等式两边同除以2n(n-1)，得

2(2n-1)=5(n-2)

解得n=8

小结：证明关于排列数等式时一般用阶乘商形式，解关于排列数的方程时一般用连乘积形式。

三、掌握排列应用题的一般思路

思路1：特别的爱给特别的你——特殊元素或位置优先考虑。

例3 从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？

解法一：（从特殊位置考虑）第二个节目上首先安排某女演员以外的一个节目，再从剩下的9个节目中任选五个节目安排到其它的位置上，就有A₉¹ A₉⁵ =136080种选法.

解法二：（从特殊元素考虑）若选上某女演员的节目，则首先在第二个节目上安排其它节目，有A₅¹种选法，再安排其它的节目有A₉⁵种选法，共有A₅¹A₉⁵种选法；若没有选上某女演员的节目，则从其它的九个节目中任选六个节目，有A₉⁶种选法，共有

A₅¹A₉⁵＋A₉⁶＝136080

种选法。

思路2：退一步海阔天空——从反面考虑。

例4 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比13 000大的正整数？

解法一（排除法）：1，2，3，4，5可以组成个没有重复数字的五位数，其中比13 000小的正整数的前二位数只能是否12，于是这样的数有个，所以比13 000大的正整数有 ＝114个．

解法二（直接法）：分成两类，一类是首位为1时，十位必须大于等于3有种方法；另一类是首位不为1，有种方法．所以一共有个数比13 000大．

思路3：贴近生活设计模型——捆绑与插空。

例5 七个人站成一排，如果甲、乙二人必须不相邻，则排法有（　）

A．1440 B．3600 C．4820 D．4800

解：除甲、乙外，其余5人排列为种，再用甲、乙去插六个空位，有种，不同排法种数为＝3600。

例6 排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？

解：先排5个不是小品的节目有A⁵₅种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有6个空隙，将3个小品插入进去，有A³₅种排法，所以一共有A⁵₅ A³₅=7200种排法。

例7 不同的五种商品在货架上排成一排，其中a, b两种商品必须排在一起，而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？

解：a, b捆在一起与e进行排列有；此时留下三个空，将c, d两种商品排进去一共有 ；最后将a, b“松绑”有．所以一共有 ＝24种方法．