清醒用"原理"，思辩计算更条理

王方汉

   在日常生活和生产实际中，我们常常会遇到计数的问题。加法原理和乘法原理就是用来计数的基本原理。它是解决排列组合应用题的强有力的工具。

   一、辩认需要计数的“事”

   原理中提到 “做一件事”，这个“事”，与日常生活中的事是有区别的。例如吃饭是日常生活中的一件事，但一般来说吃饭这件事不会涉及到计数的问题。

   一些学生在学习这一节时，甚至是学好本章后，做了许多题却对每一道题中做的什么事不能正确地回答出来，这就是学习中的盲目性。

   下面我们看看需要计数的几件事：

   ①用0，1，2，3，4可以组成多少个有重复数字的4位整数？

   事：组成有重复数字的4位整数。

   ②用0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字的整数？
　 事：组成无重复数学的整数。

   二、辩别分类与分步

   如何做这一件事？是分类进行，还是分步骤进行？也就是说，用加法原理还是乘法原理？

   有一个简单检验方法。做一件事时，先来一个“操作”，如果这个操作能做成这件事，这就是一类办法；如果做不成这件事，还需要继续“操作”，那么这就是一个步骤。

   例如在①中，把四位数说成是由首位数、第二位数、第三位数和末位数组成的。好吧，来一个操作：首位数上放一个非零数字，能完成这件事吗？即能组成四位数吗？不能！可见这一操作是一个步骤，还需要继续在第二位、第三位和末位数上继续这一操作。

   又因为首位数上可以放1、2、3、4这四个数字，有4种方法，而第二位、第三位和末位上均可以放0、1、2、3、4这五个数字，分别有5种方法。于是由乘法原理知，共可组成4×5×5=500个有重复数字的四位数。

   又如在②中，题目笼统地说组成无重复数字的整数，那就要追问：几位数呢？一位数行吗？当然行；二位数，三位数，四位数，五位数呢，都是整数，都行。好吧，来一个操作：组成无重复数字的一位数吧！这件事能完成吗？一位数是整数，这件事完成了！可见这一操作属于一类办法。类似地，组成二位数，三位数，四位数和五位数，均属于一类办法。（具体解法见本文例2）

   三、辩析题意灵活应用

   例1  书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．

　　⑴若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

　　⑵若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

    ⑶若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？

   解：⑴从这些书中任取一本，有三类办法，第一类办法是取数学书，有3种不同方法；第二类办法是取语文书，有5种不同方法；第三类办法是取英语书，有6种不同方法，由加法原理知，共有3+5+6=14种不同的取法。

   ⑵从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，分三个步骤，第一步，取数学书，有有3种不同方法；第二个步骤是取语文书，有5种不同方法；第三个步骤是取英语书，有6种不同方法，由乘法原理知，共有3×5×6=90种不同的取法。

   ⑶从这些书中取不同的科目的书两本，有如下三类办法：数学书和语文书，数学书和英语书，语文书和英语书。取数学书和语文书时分两个步骤，第一个步骤取数学书有3种方法，第二个步骤取语文书有5种方法，共3×5=15种方法，同理，取数学书和英语书时有3×6=18，取语文书和英语书时有5×6=30种方法，

   最后由加法原理知，这些书中取不同的科目的书两本共有15+18+30=66种方法。

   例2  用0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字的整数？

   解：因为组成无重复数字的一位数是：0、1、2、3、4，共5个；

   组成无重复数字的二位数有4×4=16个（首位数上有4种方法，末位数上有4种方法，再由乘法原理可知），

   组成无重复数字的三位数有4×4×3=48个，

   组成无重复数字的四位数有4×4×3×2=96个，组成无重复数字的五位数有4×4×3×2×1=96个，

   再由加法原理，组成的无重复数字的整数共有16+48+96+96=256个。

   例3 现有三封信任意投入四个邮筒，有多少种不同的投法？

   解：分三个步骤，投第一封信时，有4种投法，投第二封信时，有4种投法，投第三封信时，也有4种投法，由乘法原理知，共有4×4×4=64种投法。           

例4 在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有多少个？

  解：大于23145且小于43521的数，可分为以下几类：

   首位数是2的，有   23154，

   24135，24153，24315，24351，24513，24531，

   25134，25143，25314，25341，25413，25431，

   以上计有13个；

   首位数是3的，均符合要求。这时，第二位上的数有4种选法，第三位上的数有3种选法，第四位上的数有2种选法，第五位（末位）上的数有1种选法，由乘法原理知，有4×3×2×1=24个；

   前两位数是43的，符合要求的只有1个，即43512，

   前两位数是42或41的，均符合条求，分别有6个，计12个；

   由加法原理知，大于23145且小于43521的数共有13+24+1+12=50个。