国内平面闭折线研究综述(2)

(全国第四届初等数学学术交流会上的报告 2000年8月于首都师范大学)

王方汉(大罕)

§3 对星形闭折线和回形闭折线的研究成果

     凸多边形是单折边闭折线，凹多边形是非折边闭折线．从前人研究多边形的历史来看，对前者的研究远远超过后者，研究成果也大都是关于凸多边形的．这表明：非单折边闭折线比单折边要＂复杂＂得多，或者说，非单折边闭折线比单折边闭折线更＂难以捉摸＂．

    无同侧点的闭折线与有同侧点的闭折线相比，也有类似的情况．无同侧点的闭折线比有同侧点的闭折线要＂复杂＂得多，或者说，无同侧点的闭折线比有同侧点的闭折线更＂难以捉摸＂．

     因此，我们似乎有理由认为：当人们研究一般闭折线时，应该先易后难，先从单折边闭折线或有同侧点的闭折线入手．

     由于正规星形和正规回形闭折线是一类＂很规则＂的有同侧点的单折边闭折线，我们似乎有理由预测：＂星形研究＂和＂回形折线研究＂将成为人们研究一般闭折线的突破口．从目前国内的研究成果来看，情况的确如此．

     一、关于星形折线

     定义10:由一个凸多边形的边或对角线组成的平面闭折线，叫做星形折线[6]．

     定义11：对于围成一圈的n个点A₁，A₂，A₃，…，A_n，从点Ai开始，顺次连结每相隔r(1≤r+1≤n/2)个点的两点作成一条线段，若这条线段构成一条或几条闭折线，则将该闭折线称为生成数为r的n边正规星形，记为A_r(n)．若正规星形由单独一条折线组成，则称它为素星形，简称为星形，若正规星形由几条闭折线组成则称它为合星形．[21]

     星形折线的分类如下：

     星形折线可分为：正规星形，非正规星形；

     正规星形可分为：素星形，合星形．

     王方汉对正规星形的结构特征作了深入的研究．他在文[21][22]中得出如下结果：

     定理12：（素）星形A_r(n)的存在充要条件是：(n,r+1)=1．

     定理13：合星形A_r(n)存在的充要条件是：(n,r+1)=d≠1．

     定理14：n边正规星形A_r(n)按生成数不同进行分类共有［(n-２)/2］种，其中（素）星形有(1/2)Φ(n)种，合星形有［(n-２)/2］－(1/2)Φ(n)种，这里[x]表示不大于x的最大整数，Φ(n)是Euler函数．

     定理15：设正规星形A_r(n)的环数为t，则t=r+1．

     关于星形折线的生成，王方汉在《关于序号数列的遍历性》[23]中给出了一般的代数解释，如下：

     定理16：将围成一圈的n个点，按一定方向标上序号：1,2,3,…,n,…，对于给定的一个由非负整数组成的数列R_n-1=(r₁,r₂,…,r_n-1)(数列R_n-1称为生成数列)，按下下映射关系f构成数列B_n=(b₁=1,b₂,…,b_n)：

     f：r_j-1→b_j=1+∑[1≤i≤j-1]r_i (j=2,3,…n)

     连队接序号为的点能组成星形折线的充要条件是：序号数列具有遍历性，即序号数列的各项被除的余数恰恰是0,1,2,3,…,n-1的一个全排列．

     该文还证明了：

     当r是非负整数时，生成数列R_n-1=(r,r,…,r) (1≤r+1≤n/2)对应的星形是正规星形；当n=2p(p∈N,p≥2)时，生成数列R_n-1=((n/2)-1,(n/2)-1,…,n/2,…,(n/2)-1,(n/2) -1)对应的是递进对称星形折线．

     徐宁在[24]中利用数论二次同余理论也给出了对上述的一个证明.

     黄拔萃在[25]文中证明了：

     当n为形如4m-1的素数时，生成数列Rn-1=(1,2,…,(n-1)/2,(n-1)/2, …,2,1)对应的序号数列Bn具有遍历性．这就解决了文[14]的一个猜想．

     定义12：连接圆上n个等分点中每相隔r(1≤r+1≤n/2)个点的两个点组成边，所得到的n边正规星形称为边正星形,记为Pr(n).

     正星形Pr(n)具有如下性质:

     ①顶角Ai都相等,且Ai=(n-2r-2)π/2 .

     ②边长ai都相等,且ai=2Rsin[(r+1)π/n] .

     ③正星形Pr(n)第j(j=0,1,2,…,r)层自交点构成子星形Pr-j(n),且第j层子星形的边长为[26]:

     aj=2R[tan(r-j+1)π/n][cos(r+1)π/n],其中R是正星形所内接的圆的半径.

     ④正星形Pr(n)的面积为Δ(n)=(1/2)πR2sin[2(r+1)π/n] ,其中R是正星形所内接的圆的半径.

     关于正星形的判定，熊曾润和宋方钦在文[27]中得到如下结论：

     ①若闭折线的各边相等，且有外接圆，则它为正星形.

     ②若闭折线有同心的外接圆和内切圆，则它为正星形.

     ③若闭折线有内切圆且切点为各边的中点,则它为正星形.

     对于一般星形折线,熊曾润在《圆内接星形的一个优美的度量性质》[28]一文中给出如下结果:

     定理17:设一阶(即自交数为1)圆内接星形的顶点为A_i(i=1,2,…,n),它的边A_iA_i+1与A_i+1A _i+3相交于点B_i+1,则

     Π[1≤i≤n] B_iA_i+1/A_i+1B_i+1=1,

     且Π[1≤i≤n]A_iB_i+1/B_i+1A_i+3=1.

     定理18:设二阶圆内接星形的顶点为A_i(i=1,2,…,n),它的边A_iA_i+3与A_i+2A_i+5相交于点B _i+2, 边A_iA_i+3与A_i+1A_i+4相交于点C_i+1,则

     Π[1≤i≤n][B_iA_i+1/B_i+1Ci₊₁][C_iA_i+2/A_i+2B_i+2]=1.

     且Π[1≤i≤n][ A_iB_i+2/B_i+2A_i+5][ A_iC_i+1/C_i+1A_i+4]=1.

     有趣的是，文[29]指出，顶点在同一条圆锥曲线上的星形，也有与定理17和18形式上完全一样的结论。

     宋方钦给出了关于星形的不等式如下[30]：

     定理19：设M点是星形Pr(n)的任一同侧点，角Ai(i=1,2,…,n)是星形的顶角，Δ是其面积，则

     ①∑[1≤i≤n]MA_i²sinA_i≥2Δ.

     ②∑[1≤i≤n]MA_i²≥2Δ/sin[2(r+1)π/n].

     王方汉在文[31]中定义了星形多边形（又称为齿形）及其内、外齿角的概念，得到了此种多边形的一些有趣的性质：

     ①星形多边形的边数必为偶数，内外齿角的数目各半且相间排列；

     ②等角齿形的基多边形是等角多边形；

     ③m齿等齿齿形的内外齿角顶点可构成正m边形，并且它们有共同的中心；

     ④正m齿齿形的中心对于相邻两顶点的视角是一个常数，这个常数是π/m；

     ⑤正2m边形星形的轮廓线是正齿齿形.

     二、关于回形闭折线

     熊曾润最先注意到回形闭折线因有同侧点而区别于其它类型的闭折线,对回形闭折线进行了深入的研究,将许多著名的关于多边形的定理推广到回形闭折线中,有的甚至推广到一般闭折线中.他在文[19]中给出了:

     定理20(维维安尼定理的推广):若回形闭折线的各边或各内角相等,则它的任一同侧点到各边的距离之和为定值.

     熊曾润在《广义回形折线的布洛卡点及其性质》[32]一文中推广了布洛卡的概念,得到了布洛卡点存在的充要条件和布洛卡点的有关性质,即

     定理21:如果回形闭折线各边的边长,各个顶角均为劣角,那么该闭折线存在布洛卡点的充要条件是

     a₁/a₂sinA₂+cotA₃= a₂/a₃sinA₃+cotA₄=…= a_n/a₁sinA₁+cotA_2.

     定理22:设P为回形闭折线A₁A₂…A_n的布洛卡点,θ为布洛卡角, Δ表示面积,P点在直线A_iA_i+1上的射影为B_i(i=1,2,…,n),则

     Δ(B₁B₂B_n)=sin²θ*Δ(A₁A₂…A_n).

     1990年波兰华沙大学教授Marci E.Suzan证明了如下命题：

     设P为三角形ABC内任一点，记α=∠PAB，β=∠PBC，γ=∠PCA，则

     Cotα+cotβ+cotγ≥cotA+cotB+cotC+(sinAsinBsinC) ^-1/3

     连加志将这一命题推广到多边形[34]，熊曾润又将它推广到回形闭折线中，得到了

     定理23：设回形闭折线A₁A₂…A_n的各顶角A_i(i=1,2,…,n)均为劣角，M点是它的任一同侧点，记θ_i=∠MA_iA_i+1，则

     ∑[1≤i≤n]cotθ_i≥∑[1≤i≤n]cotA_i+n(Π[1≤i≤n] sinA_i)^-1/n.

     熊曾润还考查了有外接圆或内切圆的回形闭折线，得到了一些有意义的结果，例如

     定理24：记k环n边回形闭折线为A_n^k，若回形闭折线A_n^k有内切圆O，则对于内接于圆O的任何一条回形闭折线B_n^k，有（见[36]）

     Δ(B_n^k) ≤cos²(kπ/n) Δ(A_n^k)

     定理25：设回形闭折线为A_n^k内接于半径为R的圆，各边长为a_i(i=1,2,…,n)，则对于给定的任意正数p，有（见[37]）

     ①∑[1≤i≤n]1/a_i^p≥n/[2Rsin((r+1)π/n)]^p

     ②∑[1≤i≤n]1/a_i^p≥∑[1≤i≤n]n/[2Rsin((r+1)π/n)]^p+(1/n)∑[1≤i≤j≤n](1/ a_i^p/2-1/ a_j^p/2)²

     §4 关于一般闭折线的度量性质

     杨之先生在提出一般平面折线这一研究课题时，基于平面闭折线与多边形区别，所以着重提出“为了从整体上掌握折线形的性质、特征，应当对折线的结构作一般的考查”，这实际上是强调了折线的组合性质和拓朴性质.

    熊曾润先生注意到平面闭折线作为一般的平面图形，又提出了不可忽视对其度量性质的研究。

    1998年上半年以来，“中国折线研究小组”的成员之间频频通信，畅所欲言，基本上达成了共识。

    在上一节中，我们介绍了对两种特殊的平面闭折线（星形折线和回形折线）几何属性的研究成果，相比之下，对一般平面折线度量性质的研究目前还处于起步阶段，但取得的成果仍然令人振奋。

     一、闭折线的面积问题

     平面闭折线的面积,是闭折线的基本几何属性.也是闭折线研究的重要问题之一.

     定义13[39][40]:设n边形A(n)的顶点A_i的直角坐标为(x_i,y_i)(i=1,2,…,n),它的面积为ΔA(n),并且约定当A₁,A₂,…,A_n按逆时针方向进走时,ΔA(n)为正值,反之ΔA(n)为负值,则

      ΔA(n)=(1/2)∑[1≤i≤n](x_iy_i+1-x_i+1y_i),

     于是我们把  ΔA(n)称为n边形A(n)的有向面积.