国内平面闭折线研究综述

(全国第四届初等数学学术交流会上的报告 2000年8月于首都师范大学)

王方汉(大罕)

§1 历史的回顾

    自从欧几里得的伟大著作《原本》问世以来，初等几何已历经二千多年。后人虽不断充实其内容，但对折线形的研究，大体上仅限于多边形，始终没有把"一般平面折线"作为深入研究的对象。

   十八世纪以后，人们或许是受台球运行轨道的启示，开始用数学的眼光，考察质点在圆或凸域内撞击边界所产生的折线轨道所蕴含的数学规律，得到了一些有益的结论，诸如著名的雅可比定理。此后经过几代数学家的工作，建立了一套关于质点碰撞的数学理论[1]。但是，在这些研究活动中，"一般平面折线"仍然没有正式成为深入研究的对象。

   1951年1月，我国著名的数学教育家傅种孙先生发表了《从五角星谈起》[2]的精彩演讲，开了星形研究的先河。1958年,《有向图形的面积计算》[3]一书在我国翻译出版。1983年，国内有几篇文章探索了星形的计数[4]、特殊折线的顶角和问题[5]。这些表明国内数学工作者已经开始注视平面折线这一几何图形。

   1991年，杨之先生发表了《折线基本性质初探》一文，正式提出了对折线进行理论研究的课题，并在他著名的《初等数学研究的问题与课题》一书中专辟一章加以阐明。在他的创导下，短短的几年内，国内关注这一研究课题的学者开始增多，新的研究成果不断涌现。其中不乏较为深刻、有突破性进展的成果。1996年，“中国折线研究小组”正式成立(牵头人熊曾润和王方汉)，这标志着我国对折线研究进入了一个新的阶段。

§2 关于平面折线的构造特征

    一、平面闭折线的折性问题

    杨之注意到折线的边的折性问题，引进了“单折边”、“双折边”概念。

    一动点沿着闭折线的边行走，若经过顶点A时向左拐，则称A为左折点，否则称A为右折点。若从两个方向通过边AB的两个端点时，一个端点是左折点，另一个端点是右折点，（或者说，从两个方向通过边AB的两个端点时都是向左（右）拐），则称AB为单折边，否则称为双折边。若双折边AB的两个端点都是左折点，则称AB边为左旋边；若双折边AB的两个端点都是右折点，则称AB边为右旋边。

    下面的定理1提示了闭折线的最基本的一个结构特征。它是由杨之发现并在[6]文中证明的。

    定理1：闭折线如果有双折边，则有偶数条，左右旋边各半且相间排列。

    定理2：多边形为凸多边形的充要条件是其所有的边都是单折边。

    王方汉引进了折性数ξ（ξ=±1）以刻画有向闭折线的折性[7]：把左折点的折性记为ξ=1，称之为正顶点，把右折点的折性记为ξ= -1，称之为负顶点；又把n边有向闭折线A₁A₂A₃…A_n各个项点的折性数写成一个有序数组（ξ₁,ξ₂,ξ₃,…,ξ_n），则称（ξ₁,ξ₂,ξ₃,…,ξ_n）为折性数组。对于任意给定的n边闭折线（无论它多么“复杂”以及是否自交），给它一个起点和行走方向，都有唯一的n元折性数组与之对应。

    [8]文提出了有向简单闭折线的种类数问题：规定折性数组相等的n边有向简单闭折线是同型折线，把同型的有向闭折线算作一种，不同型的有向闭折线的种类数记为σ(n)．换言之，所谓有向简单闭折线的种类数σ(n)，就是从集合｛有向简单闭折线｝到集合｛折性数组｝的映射中象集合的元素的个数，并猜测：n²/32≤σ(n) ≤n²/4.

    姚勇针对上述猜测，利用组合数学中的圆排列数公式推出了σ(n)的计算公式如下[9]：

    σ(n)＝(1/n) ∑[d|n] φ(d)-2^n/2-[n/2]-2 ,

    其中φ(d)为欧拉函数，∑[d|n]表示对n的所有因数求和．由此他还得到：

    ①当n≥3时,σ(n)≥n²/32；②当3≤n≤12时，σ(n) ＜n²/4；③当n≥13时, σ(n)≥n²/4.

     二、平面折线的顶角、折角、环数问题

     定义1：①平面折线在顶点A_i处的劣角，称为折线在顶点A_i处的顶角，记为β_i ；

     ②顶角β_i与该顶点的折性数ξ_i之积β_iξ_i，称为有向折线在顶点A_i处的有向顶角，记为θ_i ；

     ③顶角β_i的补角π-β_i与折线数ξ_i之积ξ_i(π-β_i)，称为有向折线在顶点A_i处的有向折角，记为φ_i .

     环数是平面折线的一个十分重要的结构特征,它是信息衡量”复杂”程度的一项重要指标.对此,王方汉在《平面折线的环数》[10]这一重要文章中给出了如下定义:

    定义2:n边有向平面折线的所有折角φ_i(n=1,2,3,…,n)之和除以的商,称为这条有向折线的环数.记为

     t(n)=(1/2π)∑[1≤k≤n]φ(k).

     定义3:(无向)折线的环数等于相应的有向平面折线环数的绝对值,记为|t(n)|,即

     |t(n)|=|(1/2π)∑[1≤k≤n]φ(n)|.

     这里要指出的是,上述关于平面折线(有向的或无向的)环数定义,不仅适用于平面闭折线,还适用于平面开折线,也就是说,有向平面折线的环数t可以取一切实数.平面折线环数的上述定义也为定义平面闭曲线的环数铺平了道路.任何平面闭折线都可以通过平面拓朴变换变为平面闭曲线.我们就用平面曲折线的拓朴原象(即平面闭折线)的环数来定义平面闭曲线的环数.

     平面折线环数的求法,可用变换分离法、直接分离法[11]和拓朴法[12].

     由平面折线环数的定义,文[13]推出了n边平面折线的有向顶角之和的计算公式,即

     定理3:设β_i是n边平面折线A₁A₂A₃…A_n的有向顶角, ∑β_i表示所有的有向顶角之和,则

     ∑β_i=(m-2t)π.

     其中t是环数, m=∑[1≤i≤n]ξ_i ,即是所有顶点的折性数之和.

     对于n边无向平面闭折线而言,环数的最小值显然为0,那么.那么环数最大值是多少呢?杨之在《双折数、自交数与环数》[14]中得到：

     定理4：n边无向平面闭折线的最大环数为

     |t(n)|_max =[(n-1)/2],

     其中[x]表示不大于x的最大整数.

    三、平面闭折线的自交数问题

     n边平面折线的不相邻两边的交点称为自交点.自交点的个数称为自交数,记为z(n).

     n边平面闭折线自交数也是衡量折线”复杂”程度的一个重要指标.

     林六十[15]、杨林[16]和王方汉[17]分别证明了

     定理5: n边平面闭折线自交数的最大值为

     z(n)_max=n(n-1)/2 (当n为奇数时)

     z(n)_max=[n(n-4)/2]+1 (当n为偶数时)

     王方汉还在[17]文给出了自交数达到最大值时的模型，这就是单向极位星形和双折边对称星形。

     杨之通过构图，细致地考查了闭折线的演化规律后，提出了关于自交数的一个猜想[18]：不存在自交数为4的5边闭折线和自交数为13的7边闭折线.

     关于两条闭折线交点个数的最大值,姚勇指出:

     定理6:边数为m、n且无公共边的两条闭折线 ,它们交点个数z(m,n)的最大值为[19]

     z(m,n)_max =mn (当m,n均为偶数时)

     z(m,n)_max =m(n-1) (当m为偶数,n为奇数时)

     z(m,n)_max =mn (当m,n均为奇数，m>n时)

     四、平面闭折线的同侧点问题

     熊曾润先生指出：有无同侧点也是衡量平面闭折线“复杂”程度的又一个指标。他在《闭折线的同侧点及其性质》[19]这一重要文章中给出了：

     定义4：设M点是闭折线所在平面内的点,动点P沿着折线的各边依次行走,若定点M始终位于动点P行进方向的左(右)侧,则点M称为这条闭折线的左(右)侧点.我们把左(右)侧点统称为同侧点.

     定义5:有同侧点的闭折线称为广义闭回形闭折线.若广义回形闭折线的各个顶角均是劣角,则称它为回形闭折线;若广义回形闭折线的各个顶角不全是劣角,则称它为准回形闭折线.

     同时该文给出了同侧点的有关性质..

     五、平面闭折线的几何变换问题.

     平面闭折线的几何变换,这是一个铙有趣味的问题.目前的研究只是浅层次的.文[10]给出了

     定义6:折性数组相等的两条闭折线称为同型闭折线.把一条闭折线变成与它同型的闭折线,这种变换称为同型变换.

     折性数组相等且折角相等的两条闭折线称为同类闭折线.把一条闭折线变成与它同类的闭折线,这种变换称为同类变换.

     定义7:同型闭折线的自交点最小的闭折线称为既简闭折线.拓朴象形状如O的闭折线称为O型闭折线;拓朴象形状如∞的闭折线称为∞型闭折线;拓朴象形状如回形的闭折线称为环形闭折线.环形闭折线分为多中心和单中心的.

     定理7: O型闭折线的环数为1, ∞型闭折线的环数为0,环形闭折线的环数的绝对值|t(n)|_max =k+1(t为闭折线的自交数).

     定理8: O型闭折线的环数为1, ∞型闭折线的环数为0,环形闭折线都是既简闭折线.

     定理9:任何平面闭折线经同类变换后其拓朴原象只能是O型闭折线、 ∞型闭折线、环形闭折线之一种.

     定义8:在不改变边的走向的情况下,将有向闭折线从某一自交点处分离成为两条有向闭折线,这种变换称为分离变换.

     定义9:在不改变相交性的情况下,把平面闭折线顶点处尖角连结改为弧线连结,把边换成曲线,就得到一条平面闭曲线,这种变换称为折曲拓朴变换.把折曲变换得到的曲线C称为折线L的拓朴象,折线L称为曲线C的拓朴原象.

     分离变换在计算闭折线的和研究闭折线的有向面积时得到了应用．折曲变换将闭折线的研究转化成为闭曲线的研究．

     六、平面闭折线的分类问题

     为了便于对平面闭折线的结构特征和几何性质加以研究，有必要对闭折线进行完全分类。

     ①　按有无自交点分类，闭折线可分为：简单闭折线（无自交点），非简单闭折线（有自交点）；

     ②　按边的折性分类，闭折线可分为：单折边闭折线（全由单折边组成），双折边闭折线（全为双折边组成），混折边闭折线（由单、双折边组成）；

     ③　按有无同侧点分类，闭折线可分为：回形闭折线（有同侧点），非回形闭折线（无同侧点）；

     ④　按顶点是否在某个凸多边形的顶点上分类：闭折线可分为：星形闭折线（所有顶点是某一个多边形的顶点），非星形闭折线（所有顶点不是任一个多边形的顶点）。

     上述分类远非完整，根据研究的需要，今后还要做这项工作。

     七、平面闭折线的“可对化”问题

     这一问题与日常生活中的装饰图案有关。

     文[20]规定：如果不改变诸折线任一条边的折性，而通过适当改变边的长度和顶角的大小能把它画成对称图形的，都叫做可对称化的闭折线。

     定理10：对n≥3，凸多边形可对称化．

     定理11：n边闭折线可对称化的充要条件是如下之一条件成立：

     ①它的(s,d)环形排列可从某处断开，成为一个对称的线排列；

     ②它的(s,d)环形排列可从某两处断开，成为一个各含偶数个的两个对称的线排列．