撰文/大罕

   楼主在审稿的过程中，看到一个现象：一些作者热衷于将定理加以推广。由于这样的稿件较多，所以有必要谈谈个人对推广的看法。

   推广是坏事吗？当然不是，恰恰相反，它是非常好的事情，因为它是数学发展的源泉之一。这样的事例在数学中是举不胜举的。

   定理的推广，或者是现实生活的需要，或者是数学内部的需要。这样的推广，才是本质上的推广。以数的概念的推广为例，从自然数到有理数，从有理数到实数，都是现实生活的需要，而从实数到复数的推广，则是因为数学内部的需要。又如，在研究平面闭折线的过程中，笔者将多边形的内角和公式f(n)=(n-3)π推广到任意闭折线的有向顶角和σ(n)=(n-t)π （t为有向闭折线的环数），熊曾润教授将平面几何中的许多经典定理如西摩松定理、来莫恩定理推广到平面闭折线中去，特别是将三角形的“心”推广到空间闭折线中去，创立了内外p号心的概念，这些工作都是数学本身的需要。

   数学既是智慧的结晶，也是天然的尤物。数学定理、公式，以和谐、对称、简捷、深刻而著称于世，有人形容它们象诗一样美丽动人。有些数学成果，特别是初等数学的成果，它对数学的发展并不起作用，但可供人们欣赏和玩味。这样的数学仍然称得上好的数学。但是，如果因为我们的推广，破坏这种美感，那就是非常不可取的事情。

   例如有这样一个不等式：

   设x_i>0,i=1,2,3, ∑x_i=1,

   则∑1/(1+x_i²)≤27/10.

   这个不等式是非常优美的。但如果有人把它推广成：

   设x_i>0,i=1,2,3,…, ∑x_i=1,

   则∑1/[(2λ+5)+λ²xi²]≤[3n+λ(n-1)]/2(2+λ)².

   大家看看，推广后的不等式是不是怪模怪样的？原来的美感呢，荡然无存！

   同时，我们又收到这样的稿件，眼睛并没有钉着推广，而是另辟溪径，对其正本清源，拨云驱雾，揭示庐山真面目。原来，这一类不等式盖源于：在x_i>0,i=1,2,3, …, ∑x_i=m的条件下，欲证不等式∑g(x_i)≤k(≥k).成立，只需构造函数f(x)=g(x)-(ax+b)且使f(m/n)=0,f^, (m/n)=0（m/n为不等式取等号的平衡值），从而确定a、b，即可得出一个0_i)≤ma+nb(或∑g(x_i)≥ma+nb.）。这样的工作是值得称道的。

   又如，瓦西列夫给出了不等式：

   设a,b,c>0,a+b+c=1,则

   (a²+b)/(b+c)+(b²+c)/(c+a)+(c²+a)/(a+b)≥2,

   彼得罗夫给出了如下不等式：

   设a,b,c>0,a+b+c=1,则

   √(ab/ab+c)+ √(bc/bc+a)+ √(ca/ca+b)≤3/2.

   这两个不等式优美和谐，令人拍案叫绝。而有些人在欣赏之余试图将它们加以推广，无非是增元、升幂、加权，这样做，把一个好端端的不等式弄得臃肿不堪面目可憎，何苦来着？！当然，作为练兵是可以的，如果拿来发表，那就值得考虑了。

   推广要有度。节而无度，一味追求新奇险，就有钻死胡同之嫌。例如不等式： △ABC中，cosAcosBcosC≤1/8是大家熟知的。倘若推广到：

   △ABC中，对λ≥0，有cosAcosBcos（C+λ）≤(1+λ)²/8，仍不失优美。

   如果进一步推广为：

   △ABC中，对λ≥0及正奇数m、n，有，cosⁿAcosⁿBcosⁿ（C+λ）≤[m^mnⁿ/2ⁿ(m+n)^m+n](1+λ)^m+n ，这样怪异繁复，就没有什么意思了。

   从上例可以看出，如果推广结果不失优美或者推广方法具有一般性，仍然是可取的。例如，有人将彼得瓦西列夫不等式推广为：

   设a,b,c>0,a+b+c=1,则

   (λa²+b)/(b+c)+(λb²+c)/(c+a)+(λc²+a)/(a+b)≥(λ+3)/2

   这个推广节而有度，给人以美的享受，仍值得肯定。

   相比之下，发现比推广是更难的事情。因为发现需要个人独具慧眼，而推广往往只需要灵机一动。作为写作上的新手，也许认为推广是可以走的一条捷径。须知推广比创造更难受到人们的承认。

   慎重推广，欢迎原创!

(本文首发在数学通讯论坛上.作者是该杂志的编委.)