在任一单位太极圆中，倒数线具有下列关系：如图11—5，设 l 1、 l  2 、 l 3、 l 4  、 l 分别为过点A、A'、O、O'、B且垂直于极心线AA'的直线, 过点B、A、A'的内、外极割线与太极图及垂线的交点如图所示： 
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                                         11—5

    （1） BCi = 1/BPi1  等价  BPi1= 1/ BCi     （极易倒）；

    （2）  ACi = 1/APi0  等价  APi0= 1/ ACi      (子午倒)  ；  

    （3） BPi = 1/ACi0  等价  ACi0= 1/ APi     （定比倒）；

    （4）  A'Pi' = 1/A' Ci0  等价  A'Ci0= 1/ A'Pi'   (定比倒)  。     

証明：在太极图中, AO =1/2  , AB = 1 , AA' = 2 ,                                        

   ① ∵  Rt△ABCi ∽ Rt△Pi1BA ,   ∴   BPi1 /AB = BA    ,  ∴  BCi =1/ BCi ； 

   ② ∵  R t△ABCi ∽ Rt△APi0B,   ∴   ACi/AB= AB/APi0 ,  ∴ ACi = 1/APi0 ； 

   ③ ∵  Rt△APiC ∽ Rt△AA'Ci0 ， ∴  APi/AA'= AO /ACi0 , ∴ APi = 1/ACi0 ；

   ④ ∵ Rt△A'Pi' O' ∽Rt△A'ACi0  ,  ∴  A'Pi'/AA'=A'O'/A'Ci0 ，∴ A' Pi'=1/A' Ci0 。

故上述关系得証。

由此可得到如下形式的定理： 在单位正太极图中,

⑴ 任一内极割线被内仪圆与外极切倒线所截的两线段互为倒数；

⑵ 任一外极割线被内仪圆与内极切倒线(子午倒线)所截的两线段互为倒数；　

⑶ 任一外极割线被过内仪圆心垂直于极心线的直线与外极圆所截的两线段互为倒数．

以上互为倒数关系的性质具有无穷对应性。任一内、外极割线均可绕其极点无穷旋转,我们可依据上述倒数性质去求任一先倒象图的其余十五个倒象图．至此,前面说的太极坐标系或曰三极坐标系,现在让人们看来不仅是天然自在的而且是十分贴切的．尤其是后面要介绍的“卡西尼‘四象倒’法”可以清楚地証实这一点；同时,我们坚信不移,在太极图中任一变化问题只须要已知一数(或象)依据相关的性质即可求其无穷变化来．

而且,还易証明图中的线段存在下述关系式：

         1 /（ACi）^2 +  1 /（BCi）^2  =   [1 /（ACi）^2][ 1 /（BCi）^2 ] ．

倒数线分有极切倒、子午倒、极异倒、定比倒四类,每类求倒问题均为双意倒,可计之为八倒．

在图11—5中,若已知A iC0 = √ (10- 2√5) / 2 , 则可求出 ：                        (校正)

 ⑴  B' Ci0 =√ (6+2√5) / 2 , (勾股法) ； ⑵  ACi0=√ (10- 2√5) / 4 , (切圆法) ；

 ⑶  BCi =√ (6+2√5) / 4 , (勾股法) ；  ⑷  APi= (5+2√5))/ 5 ；

(5) APi0 = 2(10- 2√5) / (5-2√5) = [10√ (10- 2√5) + 4√ (50- 10√5) ]))/ 5 ．

显然,图中若有 A' P、A' P、A' P、A'C、… 无穷意义的量无一不可求,且仅用“勾股法”、“切圆法”及“求倒法”即可．

任一已知倒数线对应各倒数线倒象无穷,太极八卦的倒数线性质是空间形式的无穷化性质之一．我们已经看到“外三环,内三弦,勾股弦三弦上的变化是无穷化变化”,这些变化与倒数线的无穷化结合起来,就有无穷之无穷的变化．太极八卦可以将人们带到奥妙无穷的 变量科学王国中去．         

这里,先以勾股幂和线为例,进一步研究倒数线的作用和意义．图11—6所示曲线为勾股幂和线．图中

Ci是内极圆 上任一点, BCi、ACi是Rt△ABCi的勾股两边, 勾股幂和式为(ACi)n +(BCi)n ,当n属于N,且n≥2时,其轨迹用尺规描点法均可作出。                             

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                                       图11 —6 

在图11—6中，

⑴ 当n = 2时, (ACi)2 + (BCi)2 = AB= 1时 , 点Ci的轨迹为正太极图的外太极圆；

⑵ 当n = 3时, (ACi)3+ (BCi)3 ＜BPi ≤1 时,  点Ci的轨迹为正太几图内异形线C；

⑶ 当n = 4时 , (ACi)4 + (BCi)4= BPi1≤BPi≤1,点Ci的轨迹为正太极图异形线C1；

此类异形线由于幂指数的变化无穷,曲线就无穷地显形在世人的面前。

图11—7所示曲线称为卡西尼卵形线,其方程为

 (x2 +y2 )2 －2c2 (x2 －y2 ) = a4－c4      (c＞0)．

曲线是使MF1· MF22 = a 的点M的轨迹( F1、F2为固定焦点, F1F2 = 2c, a为常数)．关于其几何性质与意义等这里无须赘述，这是近代数学科学(西方的)问题,我们只对卡西尼卵形线在太极八卦中 (东方的) 展现有极大的兴趣,并为之绞尽脑汁．

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                                        图11—7 

图11—8所示的异形线称为太极八卦图中的卡西尼卵形线,这种尺规旋转描点作图法却鲜为人知,且其数学思想与哲理观点崭新，太极八卦数学科学具有鲜明的象理性,即直观性,这是天然的设计，可称之为太极四象倒数线(象)法．具体作图方法如下：                                         

依据太极八卦的无穷互到性质，我们对平行于太极图极心线O1O2 的直线 1 求其极易倒数线(象),进而对其中一象再求它的四象倒象线,就可得到如图11—8所示的太极八卦图中的卡西尼卵形线,卡西尼卵形线在太极八卦图中只不过是直线的变异而已．图中,⊙0是外太极圆,⊙01、⊙02是左、右内太极圆, ⊙01'、⊙02'是上、下内太极圆,直线AB（O1O2 ）是极心线，直线1 是内极切线,直线 11、12是左、右外极切线．为了叙述方便图中分别给出标号①、②、③、④、⑤、⑥、⑦, 直线 10∥O1O2为已知原倒象图象(标号①),对①通过 11与⊙01(或 12与⊙02)求其

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                                  图11—8                                                           图11—9

极易倒象图 ,可得①的变异线②、③、④；对②通过 11'与⊙01'(或 1 2'与⊙02' ) 求其四象倒象图,可得②的变异线⑤、⑥、⑦,随着①的位置无穷平移变换,变异线②、③、④、⑤、⑥、⑦的空间形式相应无穷变化,人们就可得到无穷的卡西尼卵形线．这种直观展现的空间形式称为象，太极八卦具有天然的象理性．

我们对这类异形线可求其极切倒倒象图,图11—9中先倒图为勾股四次幂和线APiCA'D,点Pi是该异形线上的任一点,点Ci是⊙0上与之对应的动点．它们满足下列关系式：

BPi= (ACi)4 + (BCi)4 ,      (ACi)2 + (BCi)2 = 1．           

太极图的外极切线l1、 l2 为左右极切倒数线． 内极圆⊙0、⊙0'为易倒线．根据极切倒线与易倒线求作倒象的作图方法,作出异形线APCi CA'D 的极倒象 和易倒象异形线APCi3 EC、APCi2EL和APCi1B．利用太极图的三对性即可作出 已知异形线的太极四象八卦全图．   

这里的四象即为四种图象：异线 APiCA' D、 AP i3EC、APi2EL和 APi1B．八卦是指所作图象分别分布在 由太极圆、日界线、外极切线将太极平面划分成的八个区域里，每一个象均有四个卦限区间．   

异形线APiC和APi3 EC互为极倒象, APiC和APi2EL互为极倒象, AP iC和APi1B互为易倒象．

容易看到,任一勾股幂和线及其倒象图都是尺规异线问题,其存在形式是无穷变化的,均为太极八卦问题．可以断言,太极八卦科学是宇宙科学的核心问题．

人人都可以研究掌握太极八卦数学科学的性质规律与尺规异形线的作图法,无数的尺规异形线将进一步展示太极八卦的无穷魅力,深刻地揭示出宇宙自在物的变化与太极图的变化间的一一对应规律．

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                   图11—10                     图11—11                      图11—12

图11—10所示异形线为三倍角线及其倒象图,图中只绘出二象互倒图,具体作法略．

图11—11所示异形线为勾股和幂线及其倒象线,这里幂指数等于1,图中只绘出了三象：极圆内的异线为皮利福姆(pirlforme)曲线,极圆外一象为摆线,另一象其形似鸟翼,可称之为鸟翼线．

 图11—12所示异形线为勾股和平方幂线及其倒象线,图中也只绘出了三象,所得异形线的自在形式类似上图．无论勾股和幂线的幂指数如何变化，该类异线及其倒象线的基本存在形式与内在联系是不变的，它们亦是太极八卦科学属性的反映．太极四象八卦图中，尺规异线能显形出皮利福姆曲线（不会仅此一种），这既是与（数学）历史的偶合，也是（东西方）科学结合必然的直观印証．

“倍积问题”的研究揭示了“倒数线”的存在意义,事实上倒数线的性质是太极八卦图中“太极”与“八卦”相互关系的一个极为重要的性质．可以说，没有“倍积线”自在形式的发现，“太极八卦”极切线的自在科学意义是很难从正面认识的,对它所展现的宇宙自在形式的无穷化也就根本无从谈起．人们把“倍积”神化,尊称为“蒂里亚神”问题,的确不错，“倍积”通‘神’也，“太极八卦”神通广大也．

倍积线、太极线、倒数线、极切线是天然自在同意线,乃双意线、科学结合线．是古今、中外,社会与自然,太极八卦与歐几里德几何的天然的科学结合．我们用“三原始”的方式，顺宇宙物自在形式之理，成宇宙科学之章．在上世纪九十年代初我们就预感和认识到这个问题,有诗《赞天然的科学结合》为証(见本文开篇)。

我们清楚地看到,三分角定理的完整出现,“3”环圆(还原)的显现,分倍角问题及倍积问题的本质再现,它们都说明了什么?难道说“3”环圆是人为的产物吗?难道说“三大问题”不是太极八卦的核心问题吗?难道著名的“蒂里亚神”问题不是太极八卦问题吗?难道说倍积图、倒数线不是太极八卦图吗?

显然,把个人与天然的科学用等号连接起来是可笑的方程式．以人代科学的“偶象”时代已经一去不复返了．我们心目中可以有这样一个完整的偶像：一个与人生共生的偶像，那就是自然规律．对于驾驭自然规律的个人来说,她在世人的心目中只能是驾驭自然规律的那一幅(时代)偶像,这幅偶像毫无疑义的与生命伴生．其余“图像”无论怎样高大清晰，在人们心目中似乎至多只是一个模糊的小黑点，以至于毫无踪迹．

在三十五年的潜心研究中,我们有缘顿悟、认识太极八卦图,太极八卦图暴露了许多“双意”概念与性质,《太极八卦双宝同心解圆学》是一门新兴科学,“解圆”宣告：人类对于宇宙物将“想得到,看得见,算得出；想不到,看得见,算得出；见者可算,算者可见”．《咏双意》诗也道出了“太极八卦科学”的广阔前景,也是我们致力于研究太极八卦问题的心愿．请看:

                数千春秋知“双意”，      乾坤回首绘“３”环；

                南北星照常“霜日”，      环宇齐乐有八仙．

自然辩証法是宇宙自在物的同一性方法论,自然辩証法是宇宙及其自在物的灵魂,是宇宙科学的精髓,是验证理论真理性的试金石．《太极八卦双宝同心解圆学》的基本思想是自然辩証法,基本形式是太极形式,基本原理是歐氏原理,基本作图是尺规异形线,基本作图法是线段的九种(和差积商幂方根等分定比分及倒数线法)尺规法（这在前面已经提到过）．

宇宙间的一切变化与太极八卦问题一一对应,无穷无尽的变化对应着无穷化的自在形式 ，尺规异形线的无穷化问题也足以说明这一点．

 异形线 碎片集锦：

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                  http://s2/middle/4ae436a8x88b8e7951281&690 卡西尼卵形线（续1）" TITLE="第十一章  卡西尼卵形线（续1）" />
                    http://s6/middle/4ae436a8x88b8e99a8b35&690 卡西尼卵形线（续1）" TITLE="第十一章  卡西尼卵形线（续1）" />
                    http://s1/middle/4ae436a8x88b8ec08a210&690 卡西尼卵形线（续1）" TITLE="第十一章  卡西尼卵形线（续1）" />
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