卡西尼（法 Cassini,J.D. 1625-1712）发现了卡西尼卵形线，其方程为 (x2+y2)2－2C2(x2－y2)2=a4－c4，卡西尼神人也，他的确他是一位了不起的天文学家、数学家、生物学家，在其一生所涉及的科学研究领域里有不少重要贡献，后人于自然与社会科学方面对他的评价结论足以证实这一发现的意义与价值了。 1990年的某夜子时过后，刘世发在梦中遇到一位神秘的西洋老人．．．梦醒，毛发鬙的竖起，无形中他对卡西尼顶礼膜拜，急忙作揖磕头。后来在太极互倒性的探索中展现出一条曲线，她十分美妙对称、酷似人面、既神奇而又有趣。查过许多资料才知那条曲线竟是卡西尼卵形线，它是互倒性性质的一种反映。 这样的曲线在太极中被展现，说明了什么？说明东、西方数学科学具有很强的互补性。在太极解圆学是没有表示曲线的方程，只须要依据研究对象的基本几何质性质就能得到相应的曲线。  

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                                            卡西尼卵形线

                       第 十一 章　互倒性与卡西尼卵形线   

我们已经知道太极八卦图反映的宇宙物的四同性（对偶性、相依性、相斥性、运动性）思想是宇宙的根本思想，四同性在太极八卦数学科学中的数学性称之为四大无穷性．太极八卦图的无穷互倒性，即为“内易圆极切线相对于极割线无穷互倒不变性”定理．如图11—1，⊙B、⊙0、⊙0' 相应是太极图的外易圆与左、右内易圆，点A、B、A'是太极图的三个极点，直线l 1与l 2是左、右外极切线，直线l 是过内极点B的任一极割线，l交⊙0于点Ci,交l 1于点Di 。我们发现图中线段具有如下重要的数量关系： 设  AB=1, 则0≤BCi≤1, 容易证明

BDi =1 /BCi       ( 1≤ BDi＜+∞)

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图11—1

在太极图中,若规定左易⊙0 上半圆周上的点从左到右表示1～0之间的实数,右易⊙0下半圆周上的点从左 右表示0～－1之间的实数,则l 1的上射线、⊙0上半圆周、⊙0' 下半圆周及l 2的下射线上的所有点同全体实数之间就建立了一一映射的关系。

又作CiE⊥AB，垂足为E，连接⊥ACi，在Rt△ABCi中有

                            BCi2 = AB·BE=1· BE=BE 

以点B为圆心、BE长为半径划孤交I于Ei,交⊙01上半圆周于E1,  过点B、E1作直线l ' 交l 1于点F,在l 上截取线段BGi=BCi ,则有

      BCi2= BEi=1/BF = BE1 =1/BFi ，   ∴　BFi = BEi-1= BCi-2，                               

∵    BHi = BCi= BE1/2 = (BE1)1/2  = BDi-1= BGi-1，    

∴    BGi =(BE1)-1/2   ，  BG i= BHi-1 ．               

显然，图中线段 BCi 与BDi  、BEi 与BFi  、BE1与BF、BHi 与BGi 分别互为倒数关系，而线段BE 与 BCi 、BEi与BCi 、BHi  与BE1、BFi  与BCi  、 BGi 与BE1分别互为方幂方根关系．

太极八卦图的无穷互倒性是在研究“几何三大问题”的过程中发现的。关于角的倍分问题、线段的幂根问题，相应是对偶的、相斥相依的 ，我们是在研究解决它们的相互关系的过程中才发现了线段倒数这一极其重要的几何性质。

求实创新之举乃科学之意也．我们用“三原始”的方式发现了三分角定理及“3”环(还)圆(原)的自在形式．所谓三原始的方式乃指“原始的眼光、原始的思维、原始的叙述方式”，亦称三客观的方式．没有三原始的方式就没有宇宙间一切科学的发现，三分角定理及“３”环（还）圆(原) 自在形式的发现又一次地証实了这一点．

三原始的方式加上“摸着石头过河”,潜心研究三十多个春秋,克服重重艰难险阻,清楚地认识到太极八卦图来之有源，作之有据，绘之有律，成之有形．可以说，太极八卦问题是宇宙科学的核心问题，宇宙间的一切变化与太极八卦的变化是一一对应的，宇宙及宇宙物皆太极，谓之曰：太极生万物。

在研究三分角定理中发现了“点的双意性”与“线的双意性”（双重意义，参见图7—2），由“3”环圆的自在形式发现了“三大问题还原”，亦是“双意”问题（参见图7—3）．宇宙自在物的对偶性决定了相斥性与相依性,这三大性质能够更典型地証明自在物的双意性原理．三分角问题属n分角问题,而三分又是太极的核心问题．解决n分角必先解决n倍角问题,要求方根必先求方幂,从而产生并得到“分倍对偶相依相斥、倍生分、分生倍”以及“根幂对偶相依相斥、幂生根、根生幂”的数学思想．事实上，“分倍问题”、“根幂问题”、“圆方问题”它们各是一对一对的自在对偶物，既是对立的又是相斥的。

研究解决“倍积问题”进一步証实了“3”环圆（还原）自在面貌所展示的属于太极八卦的“原始”意义，由于采用“三原始”的方式，“立方倍积”自在形式无穷化的科学才得以发现．太极方幂方根图(图7—11)就是宇宙自在物的一种必然,人们只能依其自在性揭示其必然性。

研究的实践告诉我们,没有对客观自在性的认识,就没有客观必然性的结果,驾驭客观规律性的主观随意性更不会诞生．同时,使我们清醒地认识到,几何图形的基本性质是几何科学的生命线；广而言之,自在物的基本性质是其所属科学的生命线。

倍积问题从属于太极八卦,是核心问题之一．“三大问题”是空间形式及数量关系内在规律的重大科学问题，“三大问题”的最终解决及其内在科学性的真正揭示应是一个天然的整体．分、倍对偶相依相斥,幂、根对偶相依相斥,倒数线的出现展示了太极八卦同宇宙科学的内在联系,它最先揭示了分角线与倍角线、方根线与方幂线之间的互倒关系,进而让人们看到并相信其作用是“自倒、它倒、全部倒，万物皆可互导”，使曲线的变化呈现出无穷之无穷的形式．外“3”环，内三弦，变化在勾股弦三者上变化，无穷的曲线将会奇迹般地不断被人类所发现。

下面,对倒数线问题将作以较详细的介绍．

什么叫做倒数线? 图11—2中,设AB是⊙0, 的直径,且AB = 1, 则BCi－1 (Ci是圆周上的动点)为过点A的⊙0的切线,称之为倒数线。此处之意属于自倒,指其为弦BCi 的倒数而言．

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                         图11—2                                  图11—3     

图11—3中,  BCi、 BCi0 、 BCi-1 与 BCi'、 (BCi')0、(BCi')-1 将太极平面分成了八个区间,谓之曰八卦限区,如图中所标数码1、2、…、8．                            

求倒问题．利用倒数线(BCi-1)与圆⊙0 （ BCi1)求已知图形各倒象图的原理与方法是什么? 图11—4 是利用尺规法求作先倒图［1］的各倒象的示意图, [1]又称为原倒图．

图中,正太极图的左、右内极圆分别为⊙0、⊙0' , 过 点A、A'的外极切线分别叫做左、右外极切倒数线,简称极倒线。                      

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                                         图11—4  

依惯例,设AB=1,设点Ci是⊙0上任一点, 在左仪圆⊙0上半圆内任给一原象[1]（三角形）， 点Pi是它的一个顶点，则有   0≤BPi≤BCi≤1≤BAi      (等号不同时成立), 

    易知⊙0、⊙B、左外极切倒数线上的点的集合分别为： 

            http://s16/middle/4ae436a8x887e54d39b3f&690十一 章　互倒性与卡西尼卵形线" TITLE="第 十一 章　互倒性与卡西尼卵形线" /> ．    

 图象［1］为先(原象)倒图, 设极点线BPi分别交⊙0于点Ci、交左极切线(BCi)－1于点Ai, 由图7—11（第七章中，太极方幂方根图）可知

                BPi = BCiα(α＞1),     BCi=(BAi)-1          

    由图象［1］,我们利用尺规法通过⊙0 及左外极切倒数线(BCi')－1 分别可求其倒象图［6］、［11］、［16］,一象生三象计有四种不同的图象,谓之曰“四象”．具体求倒象图作图方法如下：  

① 以B为心,以BPi长为半径画弧交⊙0于点Ci', 作直线BCi' ，极点线BCi、BCi' 分别交左外极切线(BCi' )－1于点Ai、Ai'；

② 在极点线BCi' 上截线段 BPi' = BAi', 则有  

  BPi' = BAi'= (BCi')－1 , 又(BCi)α= BPi,  BCi=（BPi）^(1/α),   ∴ BPi''=( BPi)^(-1/α),     

∵  BPi = BCi' ,  ∴ BPi''= (BCi'))^(-1/α)    (－1＜α＜0 ) ,  此即为图象［6］上点应满足的关系式；

③ 同理，仍在极点线BCi'上截线段BPi''=BCi, 则有                   

 BPi''= BCi'=（BPi））^(1/α),    又 ∵   BPi= BCi' ,    

∴    BPi''= (BCi') ^(1/α)    (0＜1/α＜1 ) ．此即为图象［16］上的点应满足的关系式；

④ 在极点线BCi上截线段BPi'''= BAi',则有 

          BPi''' =BAi'= (BCi')－1       又 ∵   BPi'= BCi'= BCiα ,  

∴        BPi''' = BCi－α  (－α＜－1)．此即为图象［11］上的点应满足的关系式．

    根据太极八卦图的三对性可以得到另外十二个图象,总共十六个图象．其中外极圆内八象为易倒象,外八象为极到象,前者只通过内极圆去完成求倒的,而后者则可利用极倒线即可求得其极倒图；倒象图还可分为自倒象与它倒象．一般地,在同一卦限区间内的倒象间的求倒问题为自倒,在不同卦限区间的倒象间的求倒问题为它倒(相对于左半图而言) ．还有一种倒象间的关系属于外极圆外或外极圆内,而卦限区间相邻的求倒,它既是它倒又是自倒问题．

 在这十六个倒象中,［1］、［2］、［3］、［4］为第一类图象,［5］、［6］、［7］、［8］为第二类图象,［9］、［10］、［11］、［12］为第三类图象,［13］、［14］、［15］、［16］为第四类图象．倒数线乃是太极八卦图中的极切线,其性质是太极八卦属性的又一客观反映,倍积问题揭示出倒数性质具有无穷对应性,该性质是太极八卦的一个极为重要的性质．