写出符合要求的九位数_山路水桥

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写出符合要求的九位数

(2019-12-21 20:59:26)

【问题】用　1，2，3，4，5，6，7，8，9　九个不同的数字写出能被 495 除尽的九位数。请问

　　（1）这样的九位数共有几个？

　　（2）其中最大的是哪一个？最小的又是哪一个？

【解】因为 495=9×11×5…………（1），

所以这个九位数末尾一定是5，即可设 X=AaBbCcDd5。

显然 A＋a＋ B＋b＋C＋c＋D＋d＋5=1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45 。

所以无论怎么排列，这九个不同数字构成的九位数一定能被9除得尽。

问题的关键怎么样使 AaBbCcDd5 能被11除得尽。这就必须考虑“奇数位数字之和”与“偶数位数字之和的差”是11的倍数。

即（A＋B＋C＋D＋5）－（a＋b＋c＋d)=±11…………（2），

由（1）、（2）

可得 A＋B＋C＋D＋5=17，a＋b＋c＋d=28。

　　即 A＋B＋C＋D=12，a＋b＋c＋d=28…………（3）。

或者 A＋B＋C＋D＋5=28，a＋b＋c＋d=17。

　　即 A＋B＋C＋D=23，a＋b＋c＋d=17…………（4）。

由（3）、（4）可得四组解

第一组解：（A，B，,C，D）=（1，2，3，6），（a，b，,c，d）=（4，7，8，9）；

第二组解：（A，B，,C，D）=（1，6，7，9），（a，b，,c，d）=（2，3，4，8）；

第三组解：（A，B，,C，D）=（2，4，8，9），（a，b，,c，d）=（1，3，6，7）；

第四组解：（A，B，,C，D）=（2，6，7，8），（a，b，,c，d）=（1，3，4，9）；

第五组解：（A，B，,C，D）=（3，4，7，9），（a，b，,c，d）=（1，2，6，8）。

所以满足给定条件的十位数共 5×（4！）×（4！）=2880 个。

满足条件的2880 个十位数中最大的是上述第五组解中一个排列 987642315，

（987642315=1995237×495 ）；

满足条件的2880 个十位数中最小的是上述第一组解中一个排列142738695。

（1427386950=288361×495）。

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