智力游戏：符合要求的十位数之答案_山路水桥

个人资料

微博

正文字体大小：大中小

智力游戏：符合要求的十位数之答案

(2019-12-18 08:00:00)

标签：

【原题】用　1，2，3，4，5，6，7，8，9，0　十个不同的数字写出能被 4950 除尽的十位数。请问

　　（1）这样的十位数共有几个？

　　（2）其中最大的是哪一个？最小的又是哪一个？

【解】设这个十位数是 X=AaBbCcDdEe。

因为 4950=9×11×50…………（1），

显然 A＋a＋ B＋b＋C＋c＋D＋d＋E＋e=1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋0=45 。所以无论怎么排列，这十个不同数字构成的十位数一定能被9除得尽。

根据题意要求，只要固定末尾两位 E、e 为 5、0，那么 X=AaBbCcDd50 一定能被 450除得尽。

关键怎么样使 AaBbCcDd50 能被11除得尽。这就必须考虑“奇数位数字之和”与“偶数位数字之和的差”是11的倍数。

即（A＋B＋C＋D＋5）－（a＋b＋c＋d＋0)=±11…………（2），

由（1）、（2）

可得 A＋B＋C＋D＋5=17，a＋b＋c＋d＋0=28。

　　即 A＋B＋C＋D=12，a＋b＋c＋d=28…………（3）。

或者 A＋B＋C＋D＋5=28，a＋b＋c＋d＋0=17。

　　即 A＋B＋C＋D=23，a＋b＋c＋d=17…………（4）。

由（3）、（4）可得四组解

第一组解：（A，B，,C，D）=（1，2，3，6），（a，b，,c，d）=（4，7，8，9）；

第二组解：（A，B，,C，D）=（1，6，7，9），（a，b，,c，d）=（2，3，4，8）；

第三组解：（A，B，,C，D）=（2，4，8，9），（a，b，,c，d）=（1，3，6，7）；

第四组解：（A，B，,C，D）=（2，6，7，8），（a，b，,c，d）=（1，3，4，9）；

第五组解：（A，B，,C，D）=（3，4，7，9），（a，b，,c，d）=（1，2，6，8）。

所以满足给定条件的十位数共 5×（4！）×（4！）=2880 个。

满足条件的2880 个十位数中最大的是上述第五组解中一个排列 9876423150，

（9876423150=1995237×4950 ）；

满足条件的2880 个十位数中最小的是上述第一组解中一个排列1427386950。

(1427386950=288361×4950）.

阅读┊ 收藏 ┊ 喜欢 ▼ ┊打印┊举报/Report