加载中…一道定积分不等式问题
(2013-10-30 16:51:47)
标签：
考研数学答疑反函数定积分换元不等式校园 |
分类： 高数考研答疑室 |
一道定积分不等式问题
【问题】任意x∈[a,b]，|f(x)|≤π， f'(x)≥m＞0，证明
第一关键利用单增，有①-π≤f(a)＜f(b)≤π，
第二关键利用单增，有②反函数x＝g(y)及g'(y)＝1/m，
第三关键换元x＝g(y)，即y=f(x)，则积分限可得f(a)→f(b)
第四关键放大被积函数、放大积分区间——这是关键之中的关键。
第三关键换元x＝g(y)，即y=f(x)，则积分限可得f(a)→f(b)
第四关键放大被积函数、放大积分区间——这是关键之中的关键。
第五关键利用偶函数性质。
【解】因为f'(x)≥m＞0，所以f(x)单增，-π
≤f(a)＜f(b)≤ π
且y＝f(x)有反函数x＝g(y)及0≤g'(y)≤1/m，
作换元x＝g(y)，则|∫<a,b>sinf(x)dx|＝|∫<f(a),f(b)>g'(y)sinydy|
≤|∫<-π，π>|g'(y)||siny|dy|≤1/m|∫<-π，π>|siny|dy|
＝2/m|∫<0，π>sinydy|＝4/m。
【这题确实是有点问题】
要么是|f(x)|≤π，
要么是|f(x)|≤π/2，
要么是|f(x)|≤π，
喜欢
0
赠金笔