【数学小品】整数边长长方体对角线穿过单位小正方体_山路水桥

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【数学小品】整数边长长方体对角线穿过单位小正方体

(2013-10-26 09:30:20)

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分类：中学数学答疑室

【问题】一个150×324×375的长方体由1×1×1的单位立方体胶合在一起而成，则这个长方体的一条对角线穿多少个单位立方体的内部？

【问题来源】http://iask.sina.com.cn/b/22291762.html

【分析】把大正方体内单位立方体的顶点称为格点，棱称为格线，面称为格面。

　　那么关键是看体对角线穿过几个“格点”几条“格线”几个“格面”。而体对角线穿过的“格点”数取决于三条棱长的最大公约数，体对角线穿过的 “格线”数取决于每两条棱长间的最大公约数。

　　若体对角线被被以上N个交点分成N+1段，也就是穿过的单位小正方体共N+1个。

【解答】把大正方体内单位小立方体的顶点称为格点，棱称为格线，面称为格面。则在这个大正方体“内部”各个方向的“格面”共 （150－1）+（324－1）+（375－1）=846个。

　　那么体对角线穿过内部这149+323+374=846个“格面”时，似有846个“不同”的交点，实际上多有重复。当穿过“格线”时，被重复了一次；当穿过“格点”时再被重复一次。

　　从三个（主视图、左视图、俯视图）方向看穿过内部“格线”的情况，相当于三个侧面长方形上对角线穿过长方形内部“格点”的情况：

　　①因为150、324有最大公约数6，所以穿过6-1=5条“格线”，算交点时被多算了5次。

　　②因为150、375有最大公约数75，所以穿过75-1=74条“格线”，算交点时被多算了74次。

　　③因为324、375有最大公约数3，所以穿过3-1=2条“格线”，算交点时被多算了2次。

　　再从斜方向看穿过“格点”的情况：因为150、324、375有最大公约数3，所以穿过3-1=2个内部“格点”，算交点时再次被多算了2次。

【综合】体对角线与“内部”格面总交点846-（5+74+2）+2=767个。

【结论】体对角线被格面总交点767个分成768段，也就是穿过的单位小正方体共768个。

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【推广到一般得到公式】边长为整数的长方体M×N×L，其中

M、N的最大公约数为A，

N、L的最大公约数为B，

L、M的最大公约数为C，

M、N、L的最大公约数为D，

体对角线与“内部”格面总共交点数

[(M - 1）+（N - 1）+（L - 1）] -[（A - 1）+（B - 1）+（C - 1）]+（D - 1）

=M+N+L - （A+B+C）+D - 1。

这M+N+L - （A+B+C）+D - 1个交点，分体对角线共M+N+L－（A+B+C）+D部分，也就是说穿过了（M+N+L）－（A+B+C）+D个单位小正方体。

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上图以4×6×9为例来说明我的方法是正确的。体对角线共穿过了（4+6+9）-（2+3+1）+1=14个小单位正方体。

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