加载中…一个一元函数的最小值
(2013-10-05 16:35:59)
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绝对值二次函数含参变量的一元函数最小值校园 |
分类： 中学数学答疑室 |
【问题】已知a、x∈R,试求f(x)＝x^2+|x-a|+1的最小值。
【来源】http://iask.sina.com.cn/b/22251393.html
【解】题意明确f(x)是一元函数，即a是取定的实常数。
函数f(x)＝x^2+|x-a|+1在R上连续，f(-∞)=f(+∞)=+∞，所以在R上必有最小值，且不同的a对应了不同的最小值m，所以最小值与a有关。
f(x)的不可导点就是x=a，函数可能的驻点是x=-1/2,1/2。所以f(x)在R上的最小值是
m(a)=min[f(a),f(-1/2),f(1/2)]
a＜-1/2时，m(a)=3/4-a；
-1/2≤a≤1/2时，m(a)=a^2+1；
a＞1/2时，m(a)=3/4+a。
【附注1】【关于参变量的意义解释】这里a是一个“参变量”，在一元函数式f(x)＝x^2+|x-a|+1中a是给定的常数。函数的最小值m的前提是将a作为常数。
当然m与给定值a有关，如果要研究m与a的依赖关系，那就是不同体系的不同过程了。含参变量问题的特色就体现在这里。
【附注2】【指出一种错误解法中的定势思维误区】知道了【关于参变量的意义】那么就可以分析如下“定势思维”的错误了，这个错误是误以为a不是给定的，而是可以随意取的。
这样一来就把问题转化为“求二元函数g(x,y)=x^2+|x-y|+1的最小值”。这就大大降低了问题原来的难度，当然降低问题的难度是我们追求的目标，但是改变了问题的“一元函数”本质，那就是大大的失误了。
【附注3】【若问题改为】已知a、x∈R,试求f(x)＝x^2+|x-a|+1的最小值m。又问：当a取何值时，m最小？
那么先求出m(a)后，
就立即可以得到解答：a=0时，m(a)有最小值1。
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