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三条坐标轴为母线的圆锥面方程
(2013-09-02 07:55:39)| 分类： 高数考研答疑室 |
【问题】求圆锥面方程，使三条坐标轴都是其母线。
【解】由题意可知所求圆锥面中心轴方向向量是
(1,1,1)……①， (-1,1,1)……②，或
(1,-1,1)……③， 或 (-1,-1,1)……④ 。
锥面上任意一点P(x,y,z)，OP与中心轴夹角等于中心轴与z的夹角arccos(1/√3)。
在①情况下
|OP·{1,1,1}|/[|OP|*|{1,1,1}|]=1/√3，
等式两边去根号可得 3(x+y+z)^2=3x^2+3y^2+3z^2，所以曲面方程为yz+zx+xy=0。
同样的道理可得其它三种情况下所求曲面
或为 -yz+zx+xy=0，或为
yz-zx+xy=0，或为
-yz-zx+xy=0 （即 yz+zx-xy=0）。
【附注】这种题考研一般不会考，如果要靠也只能是以填充题形式出现，那么思路可以灵活，推导依据可以不那么严格，几乎可以不用动笔运算。 对于上面说的第一种情况，解答见下面：
①“锥面顶点为坐标原点”，则曲面方程必是齐次方程
ax^2+by^2+cz^+pyz+qzx+rxy=0。
②“z轴在锥面上”，即x=y=0满足方程，所以c=0，同理a=b=c=0，方程为pyz+qzx+rxy=0。
③“圆锥面”是绕中心轴x=y=z的旋转曲面，方程具有轮换对称性，即p=q=r。
【结论】三条坐标轴都是其母线的圆锥面方程是 yz+zx+xy=0。
②“z轴在锥面上”，即x=y=0满足方程，所以c=0，同理a=b=c=0，方程为pyz+qzx+rxy=0。
③“圆锥面”是绕中心轴x=y=z的旋转曲面，方程具有轮换对称性，即p=q=r。
【结论】三条坐标轴都是其母线的圆锥面方程是 yz+zx+xy=0。
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