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多项式相除的余式
(2013-08-09 19:10:07)| 分类： 中学数学答疑室 |
【问题】多项式f(x)以x-1除之，余式为8；以x^2+x+1除之的余式为7x+16，
求x^3-1除之的余式为多少?
【解】因为x^3-1是“三次多项式”，所以多项式f(x)被x^3-1除之，所得余式“最高次是二次”的多项式，于是可设余式为R(x)=ax^2+bx+c，即f(x)=(x^3-1)Q(x)+ax^2+bx+c，
①由第一个条件可得f(1)=8，则 a+b+c=8，
②由第二个条件可得f(x)=(x^2+x+1)P(x)+7x+16，
则从
f(x)=(x^2+x+1)[(x-1)[Q(x)+a]+(b-a)x+(c-a)
可得b-a=7，c-a=16。
解得
a=-5，b=2，c=11。即所求余式为 R(x)=-5x^2+2x+11。
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