加载中…考研数学答疑汇总①一个幂级数综合题②曲线积分
(2013-07-10 19:30:44)
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考研高等数学幂级数综合题校园 |
分类： 高数考研答疑室 |
一个幂级数综合题
《爱问知识人》系统出故障，共享资料上传后杳无音讯，只能搬到这里来。这里本来就是我的考研高数答疑平台嘛！
【二】曲线积分：关于曲线积分的问题【高等数学】
对于∫<L>pdx+qdy的计算能不能直接使用格林公式不能一概而论。
①如果一个封闭曲线L“所围成”的闭区域（包括边界）上不包含了被积函数的“奇点”，那么可以直接使用格林公式。本题就是∫<L>
(-ydx
+xdy)/(x^2+y^2)＝∫∫<D>[(偏q/偏y)-(偏p/偏x)]dxdy＝∫∫<D>（0）dxdy＝0。
②直观地说：在挖有洞（包括点洞）的连通区域，当内边界点集外边界点集没有“交集”时，是复联通区域。
③如果一个封闭曲线L“所围成”的闭区域上包含了被积函数的“奇点”。那么在复联通区域上也是可以间接“使用”格林公式的，就是说注意到正向边界是若干条封闭曲线的并集。对于点洞的情况，可以挖一个以光滑光滑曲线L1为边界的小洞，注意对于区域来说【-L1】才是正向。
④在只有一个洞的情况下：∫<L+(-L1)>pdx+qdy=∫∫<D>[(偏q/偏y)-(偏p/偏x)]dxdy。如果符合条件：偏q/偏y=偏p/偏x，那么就有∫<L外圈>pdx+qdy=∫<L1内圈>pdx+qdy。
⑤其基本原理是用割痕把内部边界与外圈边界沟通，形成单连通区域，“割痕两岸”积分抵消。
⑥对于I=∫<L> (-ydx
+xdy)/(x^2+y^2)具体问题，可取特殊L1:x^2+y^2=r^2，r＜d，d为原点到边界的最短距离，即L1:x=rcost，y=asint，就有
I=∫<L> (-ydx
+xdy)/(x^2+y^2)=∫<L1> (-ydx
+xdy)/(x^2+y^2)=∫<0,2π>dt=2π。
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