加载中…【高考数学答疑汇总】①排列组合②抽屉原理
(2013-07-02 17:20:24)
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高考数学排列组合华东地区地图涂色校园 |
分类： 中学数学答疑室 |
【问题一】上图是我国华东地区六省一市地区图，现在要给这份地图上色，共有“红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫”七种颜色可供选择，具体要求如下：
①同一个省市只能使用同一种颜色。②相互接壤的两个省市必须使用不同的颜色。
③由于着色完成后还要给地图补画一条黄色线代表长江，因此为了避免混淆，江西、安徽、江苏、上海这四个有长江流经的省市不可以再使用黄颜色。
问：按照上述要求，总共可以有多少种不同的着色方案？（注：山东省和安徽省是相互接壤的，不要忽略）
【解答】设上海涂A，江苏涂B，安徽涂C，江西涂D，浙江涂E，福建涂F，山东涂G。
按序研究，先考虑不能是黄色的A、B、C、D，再考虑E。最后由于F和G都仅有两个邻省，所以各有5种涂法。
①A、B、C、D皆相异的涂法为A(6,4)种，E有A(3,1)种；
②A、D相同，B、C相异的涂法为A(6,1)*A(5,2)种，E有A(4,1)种；
③A、C相同，B、D相异的涂法为A(6,1)*A(5,2)种，E有A(4,1)种；
④B、D相同，A、C相异的涂法为A(6,1)*A(5,2)种，E有A(4,1)种；
⑤A与C相同，B与D相同的涂法为A(6,1)*A(5,1)种，E有A(5,1)种。
总共涂法为
[A(6,4)*A(3,1)+A(6,1)*A(5,2)*A(4,1)*3+A(6,1)*A(5,1)*A(5,1)]*5*5=66750（种）。
承蒙高山流水老师指出缺漏一种情况，现补充为②，谢谢。
【问题二】在6张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6打乱次序后将纸片翻过来，在他们的反面也随意分别写上1到6这六个整数。然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出六个数，证明：所得的六个数中至少有两个是相同的。
【解答】这是抽屉原理的一个精彩应用，无法直接证明，必须用到反证法。
反设：记dk=|Ak-Bk|，Ak是第k张牌正面的数字， B k是第k张牌反面的数字，k=1,2,3,4,5,6，那么dk分别就是0,1,2,……,5。若命题不成立，则所有dk都不同，那么它们必定分别就是0,1,2,……,5。
归谬：我们知道对于整数P，有
|P| mod 2=P mod 2，
于是可知
|Ak-Bk| mod 2=(Ak-Bk) mod
2，
进一步有
[|A1-B1|+|A2-B2|+……+|A6-B6|] mod
2=[ (A1-B1)+(A2-B2)+……+(A6-B6)] mod
2。
显然，左式=(0+1+2+3+4+5) mod
2=1，而右式= [(A1+A2+……+A6)-(B1+B2+……+B6)] mod
2=0，从而得到矛盾。
命题得证。
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