【一】二重积分证明

设f(t)是连续函数,证明∫∫D f(x+y)dxdy=∫(上限为1,下限为-1)f(u)du,D为闭区域|x|+|y|≤1。

解决本题之关键：

（1）利用二重积分分域可加性；

（2）化二重积分为二次积分；

（3）定积分换元；

（4）交换积分次序（首先要正确画出xOu平面上积分区域D'）。 

【二】数列单调有界性

【问题】x(1)=10，n≥1时，x(n+1)=√[10+x(n)]，证明数列{x(n)}收敛，并求lim<n→∞>x(n)。

【解答第一步】证明数列{x(n)}收敛。

【1】有（下）界性（数学归纳法证明x(n)＞0）

（1）初始验证：x(1)=10＞0，n=1时，x(n)＞0成立；

（2）通式假定：设n=k时，结论x(k)＞0成立；

（3）渐进递推：因为x(k)＞0，所以x(k+1)=√[10+x(k)]＞0，即n=k+1时，结论也成立。

【2】单调性（数学归纳法证明x(n)＞x(n+1)）

（1）初始验证：x(2)=√[10+x(1)]=√20＜√100=x(1)，即n=1时，x(n)＞x(n+1)成立；

（2）通式假定：设n=k时，结论成立，即x(k)＞x(k+1)；

（3）渐进递推：x(k+1)-x(k+2)=√[10+x(k)]-√[10+x(k+1)]=[x(k)-x(k+1)]/{√[10+x(k)]+√[10+x(k+1)]}＞0，即n=k+1时，结论也成立。

由此可知数列{x(n)}单调减少有下界，所以一定收敛。

【解答第二步】求数列{x(n)}的极限，上面已经证明数列{x(n)}收敛，

所以可设lim<n→∞>x(n)=A，且A＞0，同时必然有lim<n→∞>x(n+1)=A，

利用√u的连续性，在等式x(n+1)=√[10+x(n)]两边同时求极限卡的A=√(10+A)，

即A^2-A-10=0，得唯一正根A=(1+√41)/2，即lim<n→∞>x(n)=(1+√41)/2。