加载中…五角星是怎么样旋转出来的？
(2012-11-24 16:25:12)
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旋转生成五角星高考自主招生试题等腰三角形 |
分类： 中学数学答疑室 |
“爱问知识人”我问你答一直比较呆板。8老师为了活跃“爱问知识人”栏目，出了一些有趣的问题。这些问题不仅有趣，还值得思考讨论。
山路水桥不甘落后，积极向“8老师”学习，响应号召，认真参与。
由于最近旅游工作较忙（几个月前网友推荐我担任国际旅游部部长，上星期又要我兼任国内旅游部部长）。我是在旅游间隙忙里偷闲参加了三次活动，一直想好好写个小结，实在力不从心。前两次还欠着，先写第三次的。
上图是“边长”都等于1，“顶角”都等于36°的正五角星，它有一个旋转中心。
这个正五角星可以由凹的或者凸的“筝形”（【筝形】是个邻边相等对边不相等的“凸（或凹）四边形”），绕旋转中心旋转72°五次形成。
如果我们允许某些部分重叠（当然不允许有任何空隙），那么它可以由很多种图形，绕旋转中心旋转72°五次形成。
现在我们规定它是由一个等腰三角形，绕旋转中心旋转72°五次形成。
【问题】这样的等腰三角形的形状和大小。
【注】会画图的可以画图，不用计算。
这个正五角星可以由凹的或者凸的“筝形”（【筝形】是个邻边相等对边不相等的“凸（或凹）四边形”），绕旋转中心旋转72°五次形成。
如果我们允许某些部分重叠（当然不允许有任何空隙），那么它可以由很多种图形，绕旋转中心旋转72°五次形成。
现在我们规定它是由一个等腰三角形，绕旋转中心旋转72°五次形成。
【问题】这样的等腰三角形的形状和大小。
【注】会画图的可以画图，不用计算。
在8老师解答基础上，山路水桥的解题小结
这个正五角星由凹的或者凸的“筝形”（【筝形】是个邻边相等对边不相等的“凸（或凹）四边形”），绕旋转中心旋转72°五次形成。是“最节省”的。因为旋转过程中没有任何部分重叠，没有产生任何“浪费”。
当然曲边形状也有旋转成这个五角星功能，且不产生浪费。但是情况很复杂，且毫无规律，这里就不讨论了。
那么就规定一些特殊的“母体”例如等腰三角形，这样就必须允许有些浪费。
于是产生了几个问题，这样的等腰三角形“母体”有几种方案形状？在各种方案形状下，如何做到最节约？
８老师的解答是：
【一】顶角为３６°的等腰三角形。有无限多种情况，最节约的情况是底边经过旋转中心，最浪费的情况是底边是个“擦边球”好球！
【二】底角为３６°的等腰三角形。五角星邻边为底、腰，有无限多种情况，最节约的情况是另一条腰经过旋转中心，最浪费的情况是把另这条腰推向“擦边”！
【三】以两个不相邻的顶点连线为固定底边，顶点可以有限制上下移动的等腰三角形，也有无限多种情况。限制程度就体现在——最节约的情况是以旋转中心为顶点（底角为１８°），最浪费的情况是以与底角顶点不相邻的五角星凹顶点为等腰三角形的顶点（底角为３６°）。
实话实说，有没有第四种方案，山路水桥也不敢贸然断定，估计没有了！如有，请与我联系。我一定无奖表扬，专利属于你！
还有，如果把等腰三角形改为直角三角形似乎没有任何悬念。
呵呵，本题作为高考自主招生试题怎么样？
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