【问题】△ABC中，若 C=kB，求 c/b 的范围。

 

【证明】所以下面就考虑 k＞0，且 k≠1 的情况。

 

根据正弦定理，可得 c/b=sinC/sinB=sinkB/sinB,
因为 0＜B+C＜π，即 0＜(1+k)B＜π，所以 0＜B＜π/(1+k)。

 
作辅助函数 f(B)=sinkB/sinB，显然 f(B)在定义域 (0，π/(1+k))上可导。

 

当 k=1 时，f(B)在定义域 (0，π/2)上恒等于1，即有 c/b=1。

 

当时 k＞0，且 k≠1 ， f'(B)=[kcoskBsinB-sinkBcosB)/(sinB)^2，
令 f'(B)=0，得kcoskBsinB-sinkBcosB=0，即 ktanB=tankB。
可知方程 f'(B)=0 在区间 (0，π/(1+k)) 内无解，

说明 f(B) 在区间 (0，π/(1+k)) 内严格单调。

 

由于①当 B→0 时，f(B)→k；②当 B→π/（1+k) 时，f(B)→1。

所以可得结论：
当 0＜k＜1 时，c/b的取值范围为（k，1)；
当 k=1 时，c/b=1；

当 k＞ 1时，c/b的取值范围为（1，k)。