高考数学答疑：单调区间，参数范围

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【问题】已知a＞0，且f(x)=(a/3)x^3+bx^2+x+3在区间(0,1]上单调增加，用a表示b的范围。

【解】f '(x)=ax^2+2bx+1，

【1】函数没有驻点，或仅有一个驻点，

即方程ax^2+2bx+1=0 不可能有两个不同的实根，

则△≤0，b^2≤a，所以 -√a≤b≤√a.

【2】函数有两个驻点x1=[-b-√(b^2-a)]/a，x2=[-b+√(b^2-a)]/a，但

①x2≤0，即[-b+√(b^2-a)]/a≤0，所以 √(b^2-a)≤b，b≥√a；

②x1≥1，即[-b-√(b^2-a)]/a≥1，必须有　0＜a≤1和b＜-√a 的前提，

此时　√(b^2-a)≤-a-b，-(1+a)/2≤b≤-a，

即-(1+a)/2≤b≤-√a。