高考常考——递归定义数列之一 

　　A(n+1)=pA(n)+f(n)、A(n+2)=pA(n+1)+qA(n)和A(n+2)=pA(n+1)+qA(n)+f(n)这一类利用递归式定义的数列，是近年高考的常考题。

　　其实这些都是高等数学的内容，在高等数学里这些问题属于差分方程问题，利用特征方程特征根及待定系数法可以十分容易解决的。但是这个问题理工科学生是不学的，只有经济管理类专业才学，而且在《考研大纲》中二阶差分方程问题A(n+2)=pA(n+1)+qA(n)和A(n+2)=pA(n+1)+qA(n)+f(n)）是属于严重超纲的。

　　以上的几句话这是想说明一个事实，现在高中教学涉及高等数学内容太多，基本是只讲技巧，不讲概念，高考试卷比考研试卷还要难。

　　今天在这里要回答的是近黄昏同学的《一道高考数学模拟试题》

（http://iask.sina.com.cn/b/16647989.html）

【解法一】

①P(1)=1/3，P(2)=2/3+(1/3)^2=7/9；

 
②3P(n)=P(n-1)+2P(n-2) → 3P(n)+2P(n-1)=P(n-1)+2P(n-2)，
设 Q(n)=3P(n)+2P(n-1)，则上式就是 Q(n)=Q(n-1)，
于是就恒有 Q(n)=Q(2)=3P(2)+2P(1)=3，即 Q(n) 是常数数列；

 
③3P(n)+2P(n-1)=3 → 3P(n)-9/5=-2P(n-1)+6/5，
设 R(n)=P(n)-3/5，则上式就是 R(n)=(-2/3)R(n-1)，所以 R(n) 是公比为(-2/3)的等比数列，
R(n)=R(2)*(-2/3)^(n-2)
=[P(2)-3/5]*(-2/3)^(n-2)
=(8/45)*(-2/3)^(n-2)；

 
④P(n)-3/5=(8/45)*(-2/3)^(n-2)，
P(n)=3/5+(8/45)*(-2/3)^(n-2)
=3/5+(8/45)*[(-2/3)^(-3)]*(-2/3)^(n+1)
=3/5-(3/5)*(-2/3)^(n+1)，
P(99)=3/5-(3/5)*(-2/3)^100=(3/5)*[1-(2/3)^100].

【解法二】

●○●因为有一位【高级拷贝者】照抄了我原来的解答
●○●所以我决定这里不再照抄我原来的解答
●○●提供另外一种解答：

①P(1)=1/3，P(2)=2/3+(1/3)^2=7/9；

②3P(n)=P(n-1)+2P(n-2) → 3P(n)-3P(n-1)=-2P(n-1)+2P(n-2)，
设 Q(n)=P(n)-P(n-1)，则上式就是 Q(n)=(-2/3)*Q(n-1)，
说明 Q(n) 是公比为(-2/3)的等比数列，即
Q(n)=Q(2)*(-2/3)^(n-2)=[P(2)-P(1)]*(-2/3)^(n-2)
=(7/9-1/3)*(-2/3)^(n-2)=(4/9)*(-2/3)^(n-2)=(-2/3)^n；

③P(n)-P(n-1)=(-2/3)^n → P(n)-(2/5)*(-2/3)^n=P(n-1)-(2/5)*(-2/3)^(n-1)，
设 R(n)=P(n)-(2/5)*(-2/3)^n，则上式就是 R(n)=R(n-1)，
所以 R(n) 是常数数列：
R(n)=R(2)=P(2)-(2/5)*(-2/3)^2=7/9-(2/5)*(-2/3)^2=3/5.

④P(n)-(2/5)*(-2/3)^n=3/5，
P(n)=3/5+(2/5)*(-2/3)^n
=3/5-(3/5)*(-2/3)^(n+1)，
P(99)=3/5-(3/5)*(-2/3)^100=(3/5)*[1-(2/3)^100].

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