10高考 自招  数学复习推荐：等面四面体问题 

解答者【鱼儿】http://iask.sina.com.cn/user/user.php?uid=1368213555

鱼儿
[学者]

插图【龚成通】http://iask.sina.com.cn/user/user.php?uid=1252620073

 
龚成通
[圣人]

摘自【新浪·爱问·知识人】http://iask.sina.com.cn/b/16211390.html

【问题】设边长为a,b,c的三条线段构成了一个锐角三角形。

【证明】存在一个对棱相等，且分别为a,b,c的四面体；并计算其体积。

【解】先证明存在长方体ABCD-A'B'C'D'，使得A'D=a，A'B=b，BD=c。

记AB=x，AD=y，AA'=z，则

y^2+z^2=a^2…………(1)

z^2+x^2=b^2…………(2)

x^2+y^2=c^2…………(3)

因为长为a,b,c的三线段构成的是一个锐角三角形，所以 

b^2+c^2>a^2，c^2+a^2>b^2，a^2+b^2>c^2，

所以由(1),(2),(3)构成的方程组必有正数解。这就说明了存在长方体ABCD-A'B'C'D'，使得A'D=a，A'B=b，BD=c。

 
因此，四面体C'-A'BD是一个满足题意【对棱相等，且分别为a,b,c】的四面体（这样的四面体，一般称为“等面四面体”）。

【存在性证毕】

下面给出等面四面体C'-A'BD的的体积公式. 由(1),(2),(3)解得

 x=(1/√2)*√(b^2+c^2-a^2),
y=(1/√2)*√(c^2+a^2-b^2),
z=(1/√2)*√(a^2+b^2-c^2),

所以，等面四面体C'-A'BD的的体积为 
                     V=xyz-(4/6)xyz=(1/3)xyz

=[(√2)/12]*√[(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)],

即                  V=[(√2)/12]*√[(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)].

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