陈年老题，陈年老错，怎么办？

本文所指出的错误极其隐蔽，与《2005年湖南高考试题压轴题的标准答案》的错误性质完全一样

当时第三只眼邀请我对《湖北05年高考数学压轴题赏析 第三只眼》做评论

我一时也老眼昏花没看清，仔细琢磨才发现是错的

http://iask.sina.com.cn/b/15969220.html

http://iask.sina.com.cn/b/15969319.html

【问题】

a>b>c··1/(a-b)+1/(b-c)+x/(c-a)<0，求x的取值范围。

【我的回答】

1/(a-b)+1/(b-c)+x/(c-a)＜0,

x/(c-a)＜-[1/(a-b)+1/(b-c)],

因为 c-a＜0,
所以 x＞-(c-a)[1/(a-b)+1/(b-c)]，
即 x＞[(a-c)^2]/[(a-b)(b-c)]。


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本题是一道陈年老题，很多资料上都有，答案都是x＞4，我一直对此持有异议。

我看到过的错误解题过程是，

在 x＞[(a-c)^2]/[(a-b)(b-c)] 的基础上,

进行【画蛇添足】，推导出

[(a-c)^2]/[(a-b)(b-c)]=[(a-b)+(b-c)]^2/[(a-b)(b-c)]≥4，

得到x的取值范围为x＞4。

【这是非常错误的】因为“x＞4”是“1/(a-b)+1/(b-c)+x/(c-a)＜0”必要条件，不是充分条件。

由 “x＞[(a-c)^2]/[(a-b)(b-c)]”很容易推导出 “x＞4”。

由 “x＞4”根本推导不出 “x＞[(a-c)^2]/[(a-b)(b-c)]”，得不到“1/(a-b)+1/(b-c)+x/(c-a)＜0”。

令人信服的办法就是【举反例】，反例很容易找，只要随便找一组a,b,c不是等差数列，就可以了。

例如：当“a=7，b=5，c=0”时，我们就取x=4.5，他满足x＞4。

但是 1/(a-b)+1/(b-c)+x/(c-a)=2/35＞0 。

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现在的题意是：求出【满足“a＞b＞c”及“1/(a-b)+1/(b-c)+x/(c-a)＜0”】的x的取值范围，就是在【前提条件】“a＞b＞c”下【解不等式】“1/(a-b)+1/(b-c)+x/(c-a)＜0”。

其解集的表达形式，一般说来当然与“给定的”字母（值）是有关的。

于是得到 x＞[(a-c)^2]/[(a-b)(b-c)]。

用比较专业的语言说 [(a-c)^2]/[(a-b)(b-c)] 是x的取值范围的下确界。

再作任何缩小都不是不等式的【解集】了。

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如果按楼主的本意“x的取值范围”必须“与a、b、c无关”，实际上式把本题彻彻底底地修改为如下样子：

【对一切满足a＞b＞c的任意实数a、b、c，恒成立1/(a-b)+1/(b-c)+x/(c-a)＜0，求x的取值范围】

那么，在求得 x＞[(a-c)^2]/[(a-b)(b-c)] 后，
我们必须对a、b、c进行讨论，
“以求 [(a-c)^2]/[(a-b)(b-c)] 的最大值”。

而 4 却是[(a-c)^2]/[(a-b)(b-c)] 的最小值。

“x的取值范围”必须“与a、b、c无关”的经过这个“修改补充”把原来正确的题反倒弄成错误的了。

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正确的修改：

【对一切满足a＞b＞c的任意实数a、b、c，恒成立1/(a-b)+1/(b-c)+x/(c-a)＞0，求x的取值范围】

【●】注意【●】这里有一个重要修改①“任意实数……恒成立……”；②＜0，改成了＞0。

那么，在求得 x＜[(a-c)^2]/[(a-b)(b-c)] 后，
我们必须对a、b、c进行讨论，
“以求 y=[(a-c)^2]/[(a-b)(b-c)] 的最小值”，
易知这个最小值是 4。

对一切满足a＞b＞c的任意实数a、b、c，y=[(a-c)^2]/[(a-b)(b-c)] ≥4，

那么，当x＜4时，当然成立x＜[(a-c)^2]/[(a-b)(b-c)]，

即一定成立 1/(a-b)+1/(b-c)+x/(c-a)＞0。

集合A={x|x＜4}
是集合B(a,b,c)={x|x＜[(a-c)^2]/[(a-b)(b-c)]，a＞b＞c}
的交集，
实际上A=B(a,a-d,a-2d)，d＞0，
所以还得注意集合A中不能包含 x=4 这一点【几何意义见附图】。