《新浪·爱问·高考·数学》之〇〇九

解答者：山路水桥

 (1785-0929-0066)

【09高考朋友chshththth问】设x,y,z是△ABC的外心O到三边距离，R，r分别为△ABC的外接圆与内切圆半径．求证:x+y+z=R+r．

【山路水桥提供解答证明】x=RcosA，y=RcosB，z=RcosC．

利用cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)

可得sinA=[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b))^0.5]/2bc，

再利用R=a/（2sinA）

可得R=abc/[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b))^0.5]．

r=2S/(a+b+c)

=[(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^0.5/[2(a+b+c)]．

r/R=[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]/(2abc)，

r=R[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]/(2abc)．

x+y+z=R(cosA+cosB+cosC)

=R[(b^2+c^2-a^2)/(2bc)+(c^2+a^2-b^2)/(2ac)+(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]

=R[a(b^2+c^2-a^2)+b(c^2+a^2-b^2) +c(a^2+b^2-c^2)]/(2abc)

=R[2abc+(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]/(2abc)
=R+r．

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