《因式分解技巧

这里主要讨论整系数的四次多项式。根据高斯引理，一个整系数多项式如果能分解为两个有理系数的因式之积，那么它必定可分解为两个整系数的因式之积。所以我们直接考虑有没有整系数因式就可以了。

二次因式

• 分解因式：x⁴ + x³ + 2x² − x + 3.
  根据前面的知识，此式的有理根只可能是 ±1, ±3. 经过验证，它们都不是原式的根。因此原式没有有理根，即没有有理系数的一次因式。
  因此我们设想它可分解为两个整系数的二次因式的乘积。因为原式是首一的，因此两个二次因式也应当是首一的，于是不妨设
  
  x⁴ + x³ + 2x² − x + 3 = (x² + ax + b)(x² + cx + d).
  
  其中 a, b, c, d 都是整数。【2015.5.8注：原来的公式是错误的，现已修改。】
  比较两边对应项的系数和常数项，可得
  
  a + c = 1 b + d + ac = 2 bc + ad = −1 bd = 3
  
  这样的方程组通常是不好求解的。但我们这里有优势：各数都是整数！先从最后一个等式入手，然后逐步回代，联立方程。最后可得到分解
  
  x⁴ + x³ + 2x² − x + 3 = (x² − x + 1)(x² + 2x + 3).
  

这里有一点需要注意，一开始的 bd = 3 可以得到两组解。如果其中一组解可以导出一个分解，那么另外一组解的情形就没必要再考虑了，因为分解是唯一的。（这里涉及复数的知识，不多提。）

再来看一个例子：

• 分解因式：2x⁴ − x³ + 6x² − x + 6.
  由于首项系数为 2, 所以不妨设
  
  2x⁴ − x³ + 6x² − x + 6 = (2x² + ax + b)(x² + cx + d).
  
  比较两边的系数及常数项，可得
  
  2c + a = −1,  2d + b + ac = 6,  ad + bc = −1,  bd = 6
  
  由最后一个式子我们可得 8 组 b, d 的值。经过试验发现 b = 3, d = 2 可以导出一个分解
  
  x⁴ − x³ + 6x² − x + 6 = (2x² + x + 3)(x² − x + 2).
  
  根据前面的提醒，余下的几种情况就没必要再讨论了。

其实十字相乘法是这种方法的一种特殊情况，但比较简单。待定系数法是一种很基本的方法，应用范围非常广。这是一种方程思想，先以未知为已知，然后逆向求解。

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