体会方差刻画数据的波动程度（教学例说）

                         黄山市祁门二中    汤惟宁

从“体会”语用说起

    在备课中，教师经常使用“了解”“掌握”“理解”“体会”“领会”“运用”等，来说明自己主持的教学活动所要达到的教学目标。本文的题目，来自人教社2011版八年级《数学（下）》，第126页练习1（用条形图表示下例各组数据，计算并比较它们的平均数和方差，体会方差是怎样刻画数据的波动程度的：……）

在完成这一道题的过程中，学生“体会”到的究竟是什么？首先，给的四组数据没有背景；其次，学生在完成（赶作业）时套记、运用公式计算，从核对的结论中体会最直接的是平均数都是6，方差分别是（可以是）：0、4/7、44/7、54/7；再次，是要说出，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。这样“体会”出的究竟是什么虽然难以概观，然而，在我们看来，是在套用公式中，掌握公式，获得准确的数值，进而对事情写出稳定与否的评价，可以说，通过练习，学生多是在记识与运用公式上做巩固与熟练化的学习活动。与“体会”方差的构成及作用的合理性无关的体会。我们同时认为，《教师教学用书》（人民教育出版社）第255页有顾虑——“为什么要这样定义方差？”——才是更深入的“体会”。也因此，我们这节课的创意、教学设计与活动安排，可以说是体验式教学的努力，可以说是对讲授式教学的反动，也就是在课堂上，通过具身性的——班级两同学的八次单元测试数据（事实）——的考查、评议来展开的（“说好”），在展开中不仅是体验、领会单一要素统计量（初识与构造方差），更是相互观照与自我观照的，是还原班级教学文化生活本已意义的。

把“实际问题情境”变为处境（实境）的教学过程

“我们将在实际问题情境中，了解方差的统计意义并运用方差解决问题。”（人教社2011版八年级《数学（下）》，第124页）围绕着“实际问题情境”，不仅是个表述语用的问题，在“情境教学”的理论背景下，人们一直在借用这一专名说明教学情况（或情境），然而非常习常化地沿习成了客观化的立场，以巩固教学认识论的现代理论传统。（这其中的忧虑不展开了）课本上，“实际问题情境”的选例是农科院选种的实际、舞蹈团选身高的实际等等，这些“实际”与处境（或生活世界）的距离有多大，也是教师们无法料想的事，也因此，我们在秉持实境的教学立场，在原初体验中联系主观的情感、态度、价值观，在联系观念、经验与理念的世界（及判断）的建构过程，也就是努力地回到事情本身，在“道说”（或叙述）中“看”我们的教学。显然，以下的教学活动，是不能止于“了解方差的统计意义”的，也已经不是对象的意义所能涵盖的东西了。

我们的教学活动展开

   （一）铺垫——板书课题，直面数据（学生成绩）

没有习惯性地复习活动环节，教师直接写在黑板上——数据的波动程度，也不对关键词作注重性的说明，同时，让学生花两分钟“浏览”课本，准备“接招”。（这其中，是有已往的读课本，理解关键词的教学活动习惯支撑的，有着倾听与分享学生流露的教学文化支撑的）之后，在黑板上写下甲、乙两名同学的八次单元测验成绩及折线统计图：

甲：85    92   90   75   74   88   79   81    

乙：80   78   89   84   81   89   72   91

教师课堂独白式的流露：这几天我们都在研究数据，处理数据，理解统计量——平均数、中位数、众数的统计含义，并在有点烦琐的演算中，获得统计量，用统计量使一些事情得以获得说明。我在想，什么时候我对数据有“热情”呢？与你们班主任一样，拿着那张“要命”的考试的统计表看来看去，以数据为证据，班主任找你们各自谈话，帮你们找问题，找原因，你们自已也“比来比去”，对自已、对他人的学习情况做些反思性的判断，包括你们的家长，他们说的话（评价），真的有说服力吗？

看到数据，我们能说些什么？所以，上课前，我从这学期单元测验统计表中，选了两名同学的成绩，你们试着说点什么，一定要调动你们看数据的本领和经验，看看能不能指示出这两个同学的问题与情况，对他们形成自我评价有帮助，促进他俩的学习。也可以更简明地“说好”，但一定要有据来说。

（二）交流与评议——结合三个学生的有据结论

A同学：我发现他们的平均数一样，就看中位数，发现甲同学是83，乙同学是82.5，所以，我认为，甲同学更好。

B同学：我也发现他们的平均数是83，所以，去掉一个最高分和一个最低分，再算平均数，发现乙同学的成绩更好。

C同学：发现平均数是一样，我就定了85分这个标准，发现甲同学有四次达到85分，而乙同学只有三次，所以甲同学更好。

D同学：在平均分相同的情况下，我看到甲组数据的极差是8，小于乙组，所以，我认为甲同学的成绩更稳定。

教师结合学生的表达（表现）进行评述。A同学，第一个发表自己的看法“更好”，我不知道当事人是否能接受这一评判——“更好”，如果是班主任基于他的思路获得这种判断，真的是对的吗？先不看结论，我觉得A同学，调动了自己的感知与认知，在平均数一样的情况下，他考虑了刚学的中位数、众数。试图用这些知识说明情况。觉得众数不起作用，放弃了，而找到中位数，就有了区分，有了结论。这也是我们常说的——用数据说话，但正确与否还得多考虑，我们总是想知道事情的“真相”。B同学，想法独特，让我们联想到很多比赛为什么要去掉最高分与最低分这一策略，是保证更加“客观与公正、公平”的努力吧？显然，他的结论与A同学不同，你们究竟觉得谁是更确实的评价呢？值得注意的是，B同学有意排除了极差的影响，有“波动”下稳定性的思考，也回到平时我们评价说“某同学成绩稳定”，稳定是一种“好”，但不是“好”就是稳定性，要注意。所以，C同学的“好”就更有趣了，她拿出了一个高标准“85分”来对照波动，这也是我们的常法（看待），你们觉得有道理吧？

我想，现在最受折磨的是看到分数，知道自己在与人比的两个同学（大家还在猜测是谁吧），而且要接受评价。其实，评价是危险的，我是不能轻率做出“更好”的判断的，既使有结论，我还是不能肯定谁“更好”。所以，今天的课只是学习数学家是怎样设计出方差模型，来获得数据的稳定性的统计量（方差）的，怎样来刻画数据的波动的大小的。最终，也是在科学家的眼里，谁的成绩更稳定。

（三）怎样引出方差的定义与模型的（“为什么要这样定义方差？”）——顺着C同学的原初体验（教学的起点）

   教师讲述：今天的课题是“数据的波动程度”，从“波动”一词，我们感知到波动的存在，折线图像波浪，学习成绩不稳定也像波浪一样。生活中，我们总有想法，想知道谁更稳定，也就是波动程度的不同。数学家们是怎样找到统计量（方差）来刻画数据的波动程度的呢？也许，最初的想法与C同学一样，找到一个标准数85来参照的，像波涛起伏时，我们用海平面做参照，那么，C同学为什么不用84、82呢？也许，C同学有意定了个高标准（有其合理性），但获得的结论就会引起争议，同学们想想看，数学家要找那个“海平面”（标准数），应该定多少呢？——答：平均数83。实际上，数学家就是定了平均数（以平均数为标准），把每个数与平均数的绝对差保留下来，再取平均，用获得的这样的量来刻画数据的波动程度，他们是这样做的……，（通过微课视频，学生观看讲解方差的定义及公式）下面，我们用方差来考查一下甲、乙两同学和成绩，来判断一下，谁的成绩更稳定吧？（紧接着，学生根据方差公式分别测量出甲、乙两同学成绩的方差值，并比较）

对“体会”的内涵的再思考

就教学方式而言，教学理论界也就讲授式与对话式教学进行了长期的价值争辩，教师们也都在日常的教学活动中依托教学的讲授式传统，有限地尝试对话教学方式。以上教学的展开可以看做是兼顾讲授的对话式教学的一例。人们总是有理由声称自已在进行体验式教学，这并没什么不妥，因为教学总是与体验相伴的，通过这节课的活动展开，我们认为，学生直觉到的数据组，不是一般意义上的抽象数据组，而是启动了学生原初经验或背景能力的，经由知觉组织从原有构成成份中突现出来，有一定组织水平的知觉整体对象，不同于八个盒子里放着相应数量的黄金所具有的统计意义，也就有了事物“稳定性”这一主题的原初经验直觉背景，进而有了整体意义上的波动程度这一直观主题，有了比较波动性大小的需要，可以通过视觉区分波动性，也可以通过听觉区分波动性，才有了后来的用抽象的数字符号来区分波动性的可能。这样看来，在原初体验中的学习主题就不是方差，而是波动性的存在及特征，以及刻画波动性的、有一定组织水平的原初机略的启动，到融通方差的学习的可能。

基于教学活动的展开与反思，我们认为对话式与讲授式的教“方差”，有以下几个显著的教与学的蕴含的可区分：

第一，              讲授式，回答了“什么是方差？”；对话式，引起或回答了“为什么要这样定义方差”；

第二，              讲授式的强加主题是陌生的方差；对话式的熟悉主题是波动、稳定性，进南而是方差，具有知识的形成过程；

第三，              讲授式中，学生获得的学习体会是方差公式的作用与记识，如何用公式熟练方差值，领会值小波动大；对话式，启动了学生的原初经验，在观察数据组形态特征的挣扎中探索各种刻画“数据波动”的可能途径，在合理性中体会方差的科学的权威性。

第四，              讲授式，以定义为起点，是在认知的宏观层面展开的教学；对话式，是回到事情本身，调动学生原初经验与体验，动用已有知识、观念与机略，尝试评价，反复审核，是在感知（依直观、直觉）的微观层面展开，渐进到认知的宏观层面的过程。