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一个和音乐有关的有趣的数学问题
(2006-12-04 12:06:23)| 分类： 杂文与随想 |
上一篇博客文章，我说了音乐和数学也许有内在的联系，这一篇，要说说一个和音乐有关的数学问题，不愿意动脑筋的朋友可以不继续看下去了。
手风琴的左手贝司的琴键，安排得很科学，就是说，上下任意两个相邻的低音键，它们的相对关系是一样的。换句话说，如果某个键是1（用简谱描述），那么它上面的那个键就是5，5上面的键是2，而1下面那个键是4。例如，C键上面就是G，G的上面就是D，D的上面就是A……。因此，当我们伴奏一首歌曲的时候，假如唱歌的人说，你拉的调子高了，我唱不上去，那么我把调降低半个音或者一个音，我左手的演奏方法是完全相同的，只需要上下平移一下手指的位置即可。
我们知道，平时我们唱歌或者弹琴，一个八度之内是分成12个音的，从C开始，这12个音依次是：C、＃C、D、＃D(bE)、E、F、＃F、G、＃G、A、＃A(bB)、B，B之后又是C了。按手风琴左手低音的排列，如果从C开始，这12个音依次是 C、G、D、A、E、B、#F、#C、#G、#D(bE)、#A(bB)、F，也是12个音，只是排列的顺序不同而已。
手风琴左手这种排列的方法，刚好符合中国古代音乐律法里面提出的“三分损益法”，所谓三分损益法，就是说，假定某根琴弦所弹奏发出的声音音高是1的话，那么如果取该琴弦的2/3长度来弹奏，那么所发出的声音就是5，于是再把这个琴弦取其2/3，就得出高音的2了。我们知道，两个差八度的音频率正好是乘二的关系，例如A调的声音是440赫兹，那么880赫兹就是A调的高八度。因此，刚才发出高音2的琴弦，如果把它的琴弦长度增加一倍，于是频率就低了一半，就得到了中音2的音高，而它的琴弦长度就是发出5的琴弦的2*（2/3）即4/3了。于是，我们从1开始，依次取其琴弦长度的2/3、4/3、2/3、4/3……，如果进行12次，就可以得出12个声音来，这12个音的顺序，就是手风琴左手低音的那12个。“损”三分之一，就是2/3，“益”三分之一，就是4/3，三分损益法由此得名。
当然，手风琴并不是中国人发明的，因此低音的排列方法也不是由于设计手风琴的人学过中国古代的乐律。在西方，也有类似的产生这12个音的方法，称为五度相生法。因为1和5之间就是差五度。
说到这里，似乎并没有什么不妥，但是问题来了。我们知道，A调的频率是440赫兹，那么由上面说的三分损益法，就可以知道，E的频率应该是 440的3/2即 660赫兹。那么B的频率就应该是660的 3/4就是495赫兹了。于是，我们可以在电脑里面建立一个EXCEL的工作表，把这个三分损益法的公式放进去，让电脑计算出这12个音来。从A调440开始，计算得出的12个音的频率是：440、660、495、742.5、556.88、835.31、626.48、939.73、704.80、1057.19、792.89、1189.34、最后，我们再算一个，就得到了高音A的频率：892.01，这个结果和上面说的就有矛盾了，我们知道，高音A的频率应该是A调440的两倍，即880，而三分损益法算出来的却是这里的 892.01！（顺便说一句，这样产生的音高的差别，西方一位数学家早就发现了，这个音差被称为毕达哥拉斯音差。）
我们再换一个思路来计算，我们知道，从某个调开始，按音高排列的话，每两个相邻的音高是差半度，共有12级，任意相邻音高的两个音的相对关系都是相同的。那么，我们已知高八度的音的频率是增加了一倍，这样倒算回去，每两个相邻音高的音的频率，都应该相差2的12次方根（因为乘12次之后就高了八度即频率为2倍）。换句话说，比A调高半音的bB（#A）的频率，应该是440*（2的12次方根），按这样的算法可以算出，E的频率是659.26 而不是三分损益法得出的 660。因为2的12次方根是无理数，所以这样算出的结果，都只是近似值。但是到高八度的时候，就正好是两倍了。
那么，究竟E的音高应该是 660赫兹还是 659.26赫兹呢？这个问题，就是一个我所回答不了的问题了。
A调（440赫兹）的高八度，频率是880赫兹，这是无庸置疑的。因为当频率增高一倍时，人听起来这两个差八度的音太和谐了，和谐到了几乎没有差别那样。那么，如果把440赫兹的声音和660赫兹的声音放在一起发声，人听起来也是非常和谐的，道理很简单，440和660的比例关系也非常简明。因此人听起来极为和谐，其和谐的程度仅次于八度。如果把440赫兹和659.26赫兹放在一起发声会怎样呢，听起来大致和谐，但是感觉上不如660那么好，所以，上述问题要我来回答，我会选择660赫兹。
但是我要说明的是，所有的键盘乐器，例如钢琴、手风琴等，它们的E调的频率就是 659.26赫兹，这个音高是事先调整好的，如果他按660去调整，其结果就会像我前面用EXCEL计算的那样，越到高音误差越大。但是，如果你请一个小提琴手同时演奏A和E，他所拉出的E，一般就是660，因为他的音高是靠手指决定的，而其手指的位置，是靠他的耳朵听到的声音来调节的，他一定会觉得660赫兹听起来更舒服。
这样，我们就明白了，弦乐的音高和键盘乐器的音高实际上是有矛盾的。如果不用键盘乐器，那么和声的效果可能更好，正是这个道理，无伴奏合唱中，五度的差别不是12次方根的关系，而是2/3的关系，所以无伴奏合唱听起来更和谐。
很多年前，当我还在四通的时候，西安音乐学院的李武华教授（中国律学学会理事）找过我寻求合作，他提出了一项发明专利，利用嵌入在电子琴中的软件的计算和调整，可以在演奏的时候，让电子琴自动调整发声的音高，而不像钢琴或者手风琴那样是固定音高，以获得非常和谐的和声效果。我觉得他的想法很有道理，而且既然到了数码时代，这种可随乐曲的情况自动微调音高的数码乐器，也应该问世了。可惜后来我离开四通了，和他合作的设想也就自然中止了。
手风琴的左手贝司的琴键，安排得很科学，就是说，上下任意两个相邻的低音键，它们的相对关系是一样的。换句话说，如果某个键是1（用简谱描述），那么它上面的那个键就是5，5上面的键是2，而1下面那个键是4。例如，C键上面就是G，G的上面就是D，D的上面就是A……。因此，当我们伴奏一首歌曲的时候，假如唱歌的人说，你拉的调子高了，我唱不上去，那么我把调降低半个音或者一个音，我左手的演奏方法是完全相同的，只需要上下平移一下手指的位置即可。
我们知道，平时我们唱歌或者弹琴，一个八度之内是分成12个音的，从C开始，这12个音依次是：C、＃C、D、＃D(bE)、E、F、＃F、G、＃G、A、＃A(bB)、B，B之后又是C了。按手风琴左手低音的排列，如果从C开始，这12个音依次是 C、G、D、A、E、B、#F、#C、#G、#D(bE)、#A(bB)、F，也是12个音，只是排列的顺序不同而已。
手风琴左手这种排列的方法，刚好符合中国古代音乐律法里面提出的“三分损益法”，所谓三分损益法，就是说，假定某根琴弦所弹奏发出的声音音高是1的话，那么如果取该琴弦的2/3长度来弹奏，那么所发出的声音就是5，于是再把这个琴弦取其2/3，就得出高音的2了。我们知道，两个差八度的音频率正好是乘二的关系，例如A调的声音是440赫兹，那么880赫兹就是A调的高八度。因此，刚才发出高音2的琴弦，如果把它的琴弦长度增加一倍，于是频率就低了一半，就得到了中音2的音高，而它的琴弦长度就是发出5的琴弦的2*（2/3）即4/3了。于是，我们从1开始，依次取其琴弦长度的2/3、4/3、2/3、4/3……，如果进行12次，就可以得出12个声音来，这12个音的顺序，就是手风琴左手低音的那12个。“损”三分之一，就是2/3，“益”三分之一，就是4/3，三分损益法由此得名。
当然，手风琴并不是中国人发明的，因此低音的排列方法也不是由于设计手风琴的人学过中国古代的乐律。在西方，也有类似的产生这12个音的方法，称为五度相生法。因为1和5之间就是差五度。
说到这里，似乎并没有什么不妥，但是问题来了。我们知道，A调的频率是440赫兹，那么由上面说的三分损益法，就可以知道，E的频率应该是 440的3/2即 660赫兹。那么B的频率就应该是660的 3/4就是495赫兹了。于是，我们可以在电脑里面建立一个EXCEL的工作表，把这个三分损益法的公式放进去，让电脑计算出这12个音来。从A调440开始，计算得出的12个音的频率是：440、660、495、742.5、556.88、835.31、626.48、939.73、704.80、1057.19、792.89、1189.34、最后，我们再算一个，就得到了高音A的频率：892.01，这个结果和上面说的就有矛盾了，我们知道，高音A的频率应该是A调440的两倍，即880，而三分损益法算出来的却是这里的 892.01！（顺便说一句，这样产生的音高的差别，西方一位数学家早就发现了，这个音差被称为毕达哥拉斯音差。）
我们再换一个思路来计算，我们知道，从某个调开始，按音高排列的话，每两个相邻的音高是差半度，共有12级，任意相邻音高的两个音的相对关系都是相同的。那么，我们已知高八度的音的频率是增加了一倍，这样倒算回去，每两个相邻音高的音的频率，都应该相差2的12次方根（因为乘12次之后就高了八度即频率为2倍）。换句话说，比A调高半音的bB（#A）的频率，应该是440*（2的12次方根），按这样的算法可以算出，E的频率是659.26 而不是三分损益法得出的 660。因为2的12次方根是无理数，所以这样算出的结果，都只是近似值。但是到高八度的时候，就正好是两倍了。
那么，究竟E的音高应该是 660赫兹还是 659.26赫兹呢？这个问题，就是一个我所回答不了的问题了。
A调（440赫兹）的高八度，频率是880赫兹，这是无庸置疑的。因为当频率增高一倍时，人听起来这两个差八度的音太和谐了，和谐到了几乎没有差别那样。那么，如果把440赫兹的声音和660赫兹的声音放在一起发声，人听起来也是非常和谐的，道理很简单，440和660的比例关系也非常简明。因此人听起来极为和谐，其和谐的程度仅次于八度。如果把440赫兹和659.26赫兹放在一起发声会怎样呢，听起来大致和谐，但是感觉上不如660那么好，所以，上述问题要我来回答，我会选择660赫兹。
但是我要说明的是，所有的键盘乐器，例如钢琴、手风琴等，它们的E调的频率就是 659.26赫兹，这个音高是事先调整好的，如果他按660去调整，其结果就会像我前面用EXCEL计算的那样，越到高音误差越大。但是，如果你请一个小提琴手同时演奏A和E，他所拉出的E，一般就是660，因为他的音高是靠手指决定的，而其手指的位置，是靠他的耳朵听到的声音来调节的，他一定会觉得660赫兹听起来更舒服。
这样，我们就明白了，弦乐的音高和键盘乐器的音高实际上是有矛盾的。如果不用键盘乐器，那么和声的效果可能更好，正是这个道理，无伴奏合唱中，五度的差别不是12次方根的关系，而是2/3的关系，所以无伴奏合唱听起来更和谐。
很多年前，当我还在四通的时候，西安音乐学院的李武华教授（中国律学学会理事）找过我寻求合作，他提出了一项发明专利，利用嵌入在电子琴中的软件的计算和调整，可以在演奏的时候，让电子琴自动调整发声的音高，而不像钢琴或者手风琴那样是固定音高，以获得非常和谐的和声效果。我觉得他的想法很有道理，而且既然到了数码时代，这种可随乐曲的情况自动微调音高的数码乐器，也应该问世了。可惜后来我离开四通了，和他合作的设想也就自然中止了。
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