妞妞的作业总是犯一些小的错误，这让爸爸和妞妞都很沮丧，不过每次爸爸提醒之后，妞妞又能很快找到错误之处，其实这还是粗心大意产生的毛病。这一天妞妞写完数学作业，交给爸爸检查，爸爸又发现了两处非常明显的错误，爸爸有点恼火，对妞妞说：“15+8 怎么成了33呢？两个分数的差距，为什么需要用1来减它们的和呢？”

妞妞讪讪的，低着头不说话。“拿回去自己改正吧！希望以后作完题之后，自己检查验算一下。爸爸的检查并不是必须的，如果你的题自己不检查，爸爸也不再给你检查了。”

很快妞妞的更正完成了，还不错，全对了。“爸爸知道妞妞的作业有些多，但是越是这个时候越需要我们的心静下来。如果只图快，反而会误事的。”爸爸的话语重心长。

妞妞点点头。爸爸接着说：“我们今天的趣味数学要讲一个古老的数学题‘有物不知其数’。这个题有多老呢？它最早出现在公元四世纪的数学著作《孙子算经》里面，也就是离现在一千六百多年以前。”

“哦，这么久呀！”妞妞的声调里露出许多的惊讶。

“那个时候的我们的古人在数论方面的成就是世界领先的，这种领先直到十八、十九世纪，才由大数学家欧拉（1707—1783）和高斯（1777—1855）超过。今天我们就来讲讲数论中的一个问题。问题不难，你准能听懂。”

数学家们解决的问题自己也能听懂？妞妞来了精神，两只眼睛亮亮的看着爸爸。

“题目是这样的。‘有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？’意思是说有一样东西，不知道有多少个，三个三个来数，余二个；五个五个来数，余三个；七个七个来数，余二个。问它有多少个？”

妞妞听完后思考了一会儿，说道：“这个问题我会做。”说着在纸上写下了下面的运算过程：

3的倍数多2可以是：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35

5的倍数多3可以是：3，8，13，18，23，18，33，38，43，48

7的倍数多2可以是：2，9，16，23，30，37，44，51，58，65

“注意到它们有共同的值23，所以23 是满足这三个条件的最小的答案。”妞妞对爸爸说。

“非常正确。这种问题在数学上叫不定方程组，所谓不定方程组就是未知数多于方程数，有无穷多个解的方程组。比如像刚才这个问题，我们可以设这个数字是N， 这个方程组就是N=3*N1+2，X=5*N2+3，X=7*N3+2，其中N1，N2，N3都是整数。这个方程组有四个未知数，只有三个方程，有无数组解。比如23、128、233都可以满足问题的要求，不信妞妞可以试一试。”

妞妞用233分别除以3，5，7，结果确实就像爸爸说的。“还有什么样的数字可以满足这个问题的要求呢？”

爸爸笑着说：“我们古人对着一个问题的研究直接就导致了现代数论中的剩余定律。古人有一首诗‘孙子歌’就是说的对这个问题的解答。‘三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。’把数字藏在诗歌里面，七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指三个关键的数字70，21，15。三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。能减多少个105就减多少个，这样就能获得最小解。列成算式就是：N＝70×3＋21×3＋15×2－2×105=23。换句话说，23之后每隔105就有一个解。”

“哦，这是因为105是3、5、7的最小公倍数吧！”妞妞的理解能力确实在加强。

“对！余数其实还是可以变动的，《孙子算经》也说到只要把上面算法中的余数分别换成新的余数就行了。以R1、R2、R3表示这些余数，那么《孙子算经》给出了通用的公式

N＝70×R1＋21×R2＋15×R3－P×105（N， p是整数）。妞妞可以任意去试，决不会有错。只是我们谁都会问这三个关键性的数字又是如何来的呢？这个标准公式又是如何获得的呢？”

妞妞听得很认真，一言不发地点点头，聚精会神地看着爸爸。爸爸在纸上写下如下的算式：

70=2*（3*5*7）/3，这个数字除3余1

21=1*（3*5*7）/5，这个数字除5余1

15=1*（3*5*7）/7，这个数字除7余1

“也就是说，这三个数可以从最小公倍数M＝3×5×7＝105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1＝2，K2＝1，K3＝1，那么整数Ki（i＝1，2，3）的选取使所得到的三个数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数是R1、R2、R3的情况下。”爸爸接着写道：

R1*k1*M/3=R1*2*（3*5*7）/3=70*R1，被3除余数是R1，同时可以被5和7整除

R2*k2*M/3=R2*1*（3*5*7）/5=21*R2，被5除余数是R2，同时可以被3和7整除

R3*k3*M/3=R3*1*（3*5*7）/7=15*R3，被7除余数是R3，同时可以被3和5整除

“所以R1*k1*M/3 + R2*k2*M/3 + R3*k3*M/3 = 70*R1+21*R2+15*R3必定可以满足除3，5，7分别余R1，R2，R3。对不对？”

“对呀！好奇妙耶！这就像是设计出来的！”妞妞拍了好几下手，兴奋得直想跳。

“这个数字不能保证它是最小的解，所以就需要减掉它们的公倍数105，能减多少个就减多少个，直到结果比公倍数小为止。70×R1＋21×R2＋15×R3－P×105这就是这个解的构造过程。”

“这就是剩余定律吗？”妞妞问道。

“这还只是剩余定律的一个简本。假设有一数N，分别被两两互素的几个数a1、a2、……an相除得余数R1、R2、……Rn。设M＝a1×a2×……×an。我们首先需要求出一组数Ki，i=1,2,… n使它们满足 （ Ki * M/ai ） 除ai时余数是1，

那么最小正整数解就是

   N=（R1*K1*M/a1 + R2*K2*M/a2 + …+Rn*Kn*M/an）- P*M

（P是整数），这就是现代数论中著名的剩余定理。也被世界上数学家公称为‘中国剩余定理’，以纪念我们的祖先在这方面的卓越的贡献。”

妞妞问：“这个公式看上去确实非常美，有一点我不太懂，什么是互素呢？”

“互素就是他们彼此没有公约数（除了1之外），两两互素就是任何两个数字都没有公约数。只有这样才能保证公式的正确。妞妞能不能够用这个公式完成下面的一个题目呢？”爸爸交给妞妞一张纸，上面有这样一个题目：