今天老师布置了一道思考题,计算阴影部分的面积。妞妞使用了在集合圈这一课中学到的知

识，很容易就作出来了。因为把四个半圆的面积加起来，阴影面积就被计算了两遍，减掉正方形的面积，就可以得到阴影的面积。计算不复杂，妞妞是这样写的：

S=4*（π*5²/2）-10²=50π-100cm²

题是做完了，但是妞妞看着答案，半天都没说话，最后忍不住抬头问爸爸：“π到底是个什么东西呀？”

爸爸笑着说：“我们今天就讲讲圆周率π的故事吧。先问问妞妞你知道圆周率到底等于多少吗？”

妞妞说：“3.14吧！”

“对，一般我们是使用它的近似值3.14来计算，我们也使用22/7，和355/133作为它的近似值。爸爸会背它到小数点后22位，你听3.14159 26535 897932 354626。”爸爸慢慢地居然背了下来。

妞妞先是目瞪口呆，继而微笑问道。“爸爸，你怎么能记得住这么多的呀？”

“山巅一寺一壶酒，尔乐毋杀吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐尔乐。”爸爸慢慢地说，一边微笑地看着妞妞。妞妞一边听，一边笑，爸爸念完，妞妞笑得喘不过气，蹲在地上，半天站不起来。

“爸爸，你教我这个，太好玩了！”妞妞笑得上气不接下气地说。“是不是说有一个和尚喝酒的事儿呀？”

“是呀，我会写成文章给你的。”爸爸向妞妞保证。“但是我们今天的话题还刚开始。圆周率就是圆的周长和圆的直径之比，这是一个常数，这已经很神奇了,而且是一个无法通过有限次计算获得的无理数。我们的古人很早就知道圆的周长和它的直径之比，也就是他们相除，所得的数字是一个不变的数，但是这个数到底是什么，却总没有一个准确的结果。中国在汉朝之前，一般采用的圆周率是‘周三径一’，也就是π＝3。”

爸爸拿起了笔，画了一个圆，再在圆内画了一个等边三角形。“我们要理解这个神奇的数字，我们还是从简单的形状说起。其实正多边形的周长，与它们的外接圆直径之比也都是常数。注意必须是正多边形，一般的多边形没有这个特点。我们可以计算一下这个比例，如果计算的过程妞妞不能理解的话，也没关系，我们理解了结果就行了。”妞妞点点头。

“等边三角形的中心到三个顶点的距离等于圆的半径。如果圆的半径是1的话，等边三角形的边长就是（1+1-2cos120⁰）^1/2=3^1/2,等边三角形的周长除以外接圆直径结果大约是 3*1.732051/2=2.598076。也就是说，等边三角形中的边长和外接圆直径之比约是2.6。

同样，对于正方形，我们也有其周长和外接圆直径之比为4*2^1/2/2=2.828427。

对于正五边形，计算稍微复杂一些，不过妞妞可以不去管这个计算过程。相应地，我们也有五边形的边长=（1+1-2cos72⁰）^1/2=（2-2*0.309017）^1/2=1.381966^1/2=1.175571。相应我们有五边形周长和外接圆直径之比为 5*1.175571/2=2.938926。”

爸爸继续在纸上画图，他的图画的有标准，又美观。妞妞心里好希望自己什么时候也能画出这样好看的图形。

“六边形最简单了，它就是由六个等边三角形构成的，所以他的周长和外接圆直径的比就是6*1/2=3。

正七边形和八边形我就不画了，但是它们周长和外接圆直径的比例分别是：

正七边形：7*（1+1-2cos（360/7）⁰）^1/2/2=3.037186

正八边形：8*（1+1-2cos（360/8）⁰）^1/2/2= 3.061467

我们把这些正边形的周长和外接圆直径之比罗列下来，可以看见一些规律：

正三角形周长和外接圆直径之比：2.598076

正四边形周长和外接圆直径之比：2.828427

正五边形周长和外接圆直径之比：2.938926

正六边形周长和外接圆直径之比：3

正七边形周长和外接圆直径之比：3.037186

正八边形周长和外接圆直径之比：3.061467”

妞妞很快就看出了它的规律，说：“它们一个比一个大。”

“对，这与我们的直觉也是一样的。两点之间直线最短，所以边数越多，周长越长，而且它们的周长和圆的周长越来越接近，对不对？。”

妞妞说：“周三径一实际上就是六边形的比值，这很不准吧！”

爸爸满意地点了点头，说：“妞妞说的很对。对于圆周率的计算在很长时间里代表着一个国家的数学水平。据《隋书·律历志》记载，南北朝时期杰出数学家祖冲之确定了圆周率3.1415926＜л＜3.1415927。同时，祖冲之还确定了圆周率的两个分数形式的近似值：约率л=22/7，密率л=355/113；祖冲之确定的圆周率准确到小数点后七位，这在当时世界上是最先进的，直到一千年以后，才有人打破了祖冲之的记录。”

妞妞说：“我们中国人好聪明呀！”

爸爸接着说：“可惜现代数学中中国人落后了，不过我们赶上的速度很快。祖冲之计算圆周率的办法就是我们今天讨论的方法。通过计算六边形边长和面积，进而十二边形，二十四边形，四十八边形，等等。据我们现代人计算，圆内接接正三千零七十二边形时，其周长和直径之比为3927/1250=3.1416，而要得到3.1415926和3.1415927，必须求出圆内接正一万二千二百八十八边形的边长和二万四千五百七十六边形的面积。这样求出的圆周率才能准确到小数点后七位。”

妞妞感叹道：“太了不起了！可是这种办法是不是太麻烦了呢？”

爸爸说：“这在没有现代数学方法的古代，就是最先进的办法了。不过由于祖冲之没有留下他解决问题的过程，现代人也只是推测他的办法。你平时喜欢只记录问题的答案，写解答过程的时候往往偷懒，不愿意写下思考的过程和推断的逻辑，这样不太好。别人没有办法知道你的思路，往往时间长了你自己也会忘记。”妞妞听到爸爸的批评有些不好意思，不过还是点点头，表示接受。

爸爸接着说：“说最后一点就结束今天的话题了。假设外接圆半径为R，我们还有圆内接正多边形的面积和周长的新公式

正三角形       周长=3*3^1/2*R，                  面积=3*3^1/2*R²/4

正四边形       周长=4*2^1/2R，                   面积=2R²

正六边形       周长=6R，                        面积=3*3^1/2*R²/2

正八边形       周长=8（2-2^1/2）^1/2*R，           面积=2*2^1/2*R²

正十二边形     周长=12*（2-3^1/2）^1/2*R，         面积=3R²

比较圆的周长和面积公式，我们也可以看到许多的相似之处，周长=2πR，面积= πR²。而实际上，他们也存在逼近的关系。这说起来更复杂一些，不过我们可以记住这些公式，在只给出正多边形外接圆半径的情况下，也可以计算正多变形的面积和周长。还要记住这只对正多边形有效，对非正多边形没有效果。”

爸爸摸了摸妞妞的头，“今天的话题有趣吗？”

“还不错，尤其是和尚喝酒的口诀。我要背一背这个口诀，你快教教我吧！”