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动物中的“数学天才”
(2006-06-02 14:47:04)大自然中，许多动物具有“数学天才”，常为人类所不及：
壁虎在捕食昆虫时，总沿着一条螺旋形曲线爬行，这条曲线，即数学上的“螺旋线”。
“瞎子”鼹鼠挖地下隧道时，转弯总是90度。
蜘蛛的“八卦”网，图案美丽、复杂、匀称，人们用尺规也难以画出。
丹顶鹤排成“人”字形迁徙，这“人”字形角度永远是110度。更精确的计算表明，每边与鹤群前进方向的夹角是54度44分8秒，而金刚石结晶体的角度也恰好是这一度数。
真正的“计算天才”是珊瑚虫，它能在自己身上奇妙地记下“日历”：每年在体壁上“刻画”出365条环纹，显然每天刻一条。
奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。
冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。
还有蜂巢的完美省料结构，令许多数学家、建筑学家们汗颜：
蜜蜂没有学过镶嵌理论，圆形织网蛛也没有学过对数螺线。但是正像自然界中的许多事物一样，昆虫和兽类的建筑常常可用数学方法进行分析。自然界用的是最有效的形式——只需花费最少能量和材料的形式。不正是这一点把自然界和数学联系起来的吗？自然界掌握了求解极大极小问题、线性代数问题和求出含约束问题最优解的艺术。
把我们的注意力集中于蜜蜂，可以观察到许多数学概念。
正方形、正三角形和正六边形是仅有的三种自镶嵌正多边形。其中，对于给定面积来说，六边形的周长最小。这意味着蜜蜂在建筑蜂房中的六角柱巢室时，比起用以正方形或三角形为底的棱柱来镶嵌空间的情况，可以用较少的蜡和做较少的工作围出相同的空间。蜜蜂们……依靠某种几何学上的预见……知道六边形大于正方形和三角形，可以用同样的材料储存更多的蜜。
蜜蜂没有学过有关的几何知识，但它们所建筑的蜂房结构却符合了极大极小的数学原则。
对于正方形、正三角形和正六边形来说，如果面积都相等，那么正六边形的周长最小。这意味着蜜蜂选择建筑六角柱巢室，比建正方形或正三角形为底的棱柱巢室，可用较少的蜂蜡和做较少的工作围出尽可能大的空间，从而储存更多的蜜。
现在我们来证明：面积一定的正三角形、正方形和正六边形中，以正六边形的周长为最小。
蜂房的壁由大约1/80英寸（0.073毫米，英制长度单位，1英寸合2.54厘米。——译者注）厚的巢室壁构成，但能支持自身重量的30倍。这就是蜂房给人以沉重感觉的原因。大约14.5英寸×8.8英寸的蜂房能储存5磅多的蜜，而建筑所需的蜡只有大约1.5盎司（英制重量单位，1盎司合28.3495克。——译者注）。蜜蜂用三个斜棱柱截段构成六角柱，巢室壁交接处恰巧成120°角。蜜蜂们同时在不同截段上工作，天衣无缝地筑成一个蜂房。蜂房是垂直向下建筑的，蜜蜂把它们的部分身体用作测量仪器。事实上，它们的头起着测锤的作用。
蜜蜂所拥有的另一迷人的“工具”是“罗盘”。蜜蜂的定向受到地球磁场的影响。它们能探测到地球磁场中只有灵敏磁强计才能辨别的微小涨落。这就是为什么一群蜜蜂在占据一个新的地点时可以在这新领域的不同部分同时开始建筑蜂房而并无任何蜜蜂领导着它们的原因。所有蜜蜂都按照与旧蜂房相同的方向为它们的新蜂房取向。
巢室排得很紧密，蜜蜂已经用半菱形十二面体将端处盖好。此外，蜜蜂所建室壁的斜度是13°，这样可以防止蜂蜜在端顶被蜡帽封盖前流出。
通信联络是又一个令人感兴趣的领域。工蜂经过长途侦察回到蜂房时，以“跳舞”的形式发出一串代码，表明它们找到的食物源的方向。它们能传达食物的方向和距离。跳舞相对于太阳的定向提示食物的方向，跳舞的持续时间则指出距离。同样令人惊奇的是，蜜蜂“知道”两点之间的最短距离是一条线段。或许这是“蜂线”（beeline，即两点之间的线段。）这一术语的可能来源。工蜂在花间随意来去而采集到大量花蜜后，它知道取最直接的路线回到蜂房。蜜蜂是通过它的遗传密码获得数学训练的。从数学的观点分析自然界的各个方面，是一件有趣的事情。对于蜜蜂生活的这一瞥也不例外。我们在这里发现了材料和工作的最优化、平面和空间的镶嵌图案、六边形、六角柱、菱形十二面体、几何定理、磁场、代码和惊人的工程技术。
请看法国的法布尔的《蜘蛛的几何学》
当我们观察着园蛛，尤其是丝光蛛和条纹蛛的网时，我们会发现它的网并不是杂乱无章的，那些辐排得很均匀，每对相邻的辐所交成的角都是相等的；虽然辐的数目对不同的蜘蛛而言是各不相同的，可这个规律适用于各种蜘蛛。
我们已经知道，蜘蛛织网的方式很特别，它把网分成若干等份，同一类蜘蛛所分的份数是相同的。当它安置辐的时候，我们只见它向各个方向乱跳，似乎毫无规则，但是这种无规则的工作的结果是造成一个规则而美丽的网，像教堂中的玫瑰窗一般。即使他用了圆规、尺子之类的工具。没有一个设计家能画出一个比这更规范的网来。
我们可以看到，在同一个扇形里，所有的弦，也就是那构成螺旋形线圈的横辐，都是互相平行的，并且越靠近中心，这种弦之间的距离就越远。每一根弦和支持它的两根辐交成四个角，一边的两个是钝角，另一边的两个是锐角。而同一扇形中的弦和辐所交成的钝角和锐角正好各自相等——因为这些弦都是平行的。
不但如此，凭我们的观察，这些相等的锐角和钝角，又和别的扇形中的锐角和钝角分别相等，所以，总的看来，这螺旋形的线圈包括一组组的横档以及一组组和辐交成相等的角。
这种特性使我们想到数学家们所称的“对数螺线”。这种曲线在科学领域是很著名的。对数螺线是一根无止尽的螺线，它永远向着极绕，越绕越靠近极，但又永远不能到达极。即使用最精密的仪器，我们也看不到一根完全的对数螺线。这种图形只存在科学家的假想中，可令人惊讶的是小小的蜘蛛也知道这线，它就是依照这种曲线的法则来绕它网上的螺线的，而且做得很精确。
这螺旋线还有一个特点。如果你用一根有弹性的线绕成一个对数螺线的图形，再把这根线放开来，然后拉紧放开的那部分，那么线的运动的一端就会划成一个和原来的对数螺线完全相似的螺线，只是变换了一下位置。这个定理是一位名叫杰克斯·勃诺利的数学教授发现的，他死后，后人把这条定理刻在他的墓碑上，算是他一生中最为光荣的事迹之一。
那么，难道有着这些特性的对数螺线只是几何学家的一个梦想吗？这真的仅仅是一个梦、一个谜吗？那么它究竟有什么用呢？
它确实广泛的巧合，总之它是普遍存在的，有许多动物的建筑都采取这一结构。有一种蜗牛的壳就是依照对数螺线构造的。世界上第一只蜗牛知道了对数螺线，然后用它来造壳，一直到现在，壳的样子还没变过。
在壳类的化石中，这种螺线的例子还有很多。现在，在南海，我们还可以找到一种太古时代的生物的后代，那就是鹦鹉螺。它们还是很坚贞地守着祖传的老法则，它们的壳和世界初始时它们的老祖宗的壳完全一样。也就是说，它们的壳仍然是依照对数螺线设计的。并没有因时间的流逝而改变，就是在我们的死水池里，也有一种螺，它也有一个螺线壳，普通的蜗牛壳也是属于这一构造。
可是这些动物是从哪里学到这种高深的数学知识的呢？又是怎样把这些知识应用于实际的呢？有这样一种说法，说蜗牛是从蠕虫进化来的。某一天，蠕虫被太阳晒得舒服极了，无意识地揪住自己的尾巴玩弄起来，便把它绞成螺旋形取乐。突然它发现这样很舒服，于是常常这么做。久而久之便成了螺旋形的了，做螺旋形的壳的计划，就是从这时候产生的。
但是蜘蛛呢？它从哪里得到这个概念呢？因为它和蠕虫没有什么关系。然而它却很熟悉对数螺线，而且能够简单地运用到它的网中。蜗牛的壳要造好几年，所以它能做得很精致，但蛛网差不多只用一个小时就造成了，所以它只能做出这种曲线的一个轮廊，尽管不精确，但这确实是算得上一个螺旋曲线。是什么东西在指引着它呢？除了天生的技巧外，什么都没有。天生的技巧能使动物控制自己的工作，正像植物的花瓣和小蕊的排列法，它们天生就是这样的。没有人教它们怎么做，而事实上，它们也只能作这么一种，蜘蛛自己不知不觉地在练习高等几何学，靠着它生来就有的本领很自然地工作着。
我们抛出一个石子，让它落到地上，这石子在空间的路线是一种特殊的曲线。树上的枯叶被风吹下来落到地上，所经过的路程也是这种形状的曲线。科学家称这种曲线为抛物线。
几何学家对这曲线作了进一步的研究，他们假想这曲线在一根无限长的直线上滚动，那么它的焦点将要划出怎样一道轨迹呢？答案是：垂曲线。这要用一个很复杂的代数式来表示。如果要用数字来表示的话，这个数字的值约等于这样一串数字1＋1/1＋1/1*2＋1/1*2*3＋1/1*2*3*4＋……的和。
几何学家不喜欢用这么一长串数字来表示，所以就用“e”来代表这个数。e是一个无限不循环小数，数学中常常用到它。
这种线是不是一种理论上的假想呢？并不，你到处可以看到垂曲线的图形：当一根弹性线的两端固定，而中间松驰的时候，它就形成了一条垂曲线；当船的帆被风吹着的时候，就会弯曲成垂曲线的图形；这些寻常的图形中都包含着“e”的秘密。一根无足轻重的线，竟包含着这么多深奥的科学！我们暂且别惊讶。一根一端固定的线的摇摆，一滴露水从草叶上落下来，一阵微风在水面拂起了微波，这些看上去稀松平常、极为平凡的事，如果从数学的角度去研究的话，就变得非常复杂了。
我们人类的数学测量方法是聪明的。但我们对发明这些方法的人，不必过分地佩服。因为和那些小动物的工作比起来，这些繁重的公式和理论显得又慢又复杂。难道将来我们想不出一个更简单的形式，并使它运用到实际生活中吗？难道人类的智慧还不足以让我们不依赖这种复杂的公式吗？我相信，越是高深的道理，其表现形式越应该简单而朴实。
在这里，我们这个魔术般的“e”字又在蜘蛛网上被发现了。在一个有雾的早晨，这粘性的线上排了许多小小的露珠。它的重量把蛛网的丝压得弯下来，于是构成了许多垂曲线，像许多透明的宝石串成的链子。太阳一出来，这一串珠子就发出彩虹一般美丽的光彩。好像一串金钢钻。“e”这个数目，就包蕴在这光明灿烂的链子里。望着这美丽的链子，你会发现科学之美、自然之美和探究之美。
几何学，这研究空间的和谐的科学几乎统治着自然界的一切。在铁杉果的鳞片的排列中以及蛛网的线条排列中，我们能找到它；在蜗牛的螺线中，我们能找到它；在行星的轨道上，我们也能找到它，它无处不在，无时不在，在原子的世界里，在广大的宇宙中，它的足迹遍布天下。
这种自然的几何学告诉我们，宇宙间有一位万能的几何学家，他已经用它神奇的工具测量过宇宙间所有的东西。所以万事万物都有一定的规律。我觉得用这个假设来解释鹦鹉螺和蛛网的对数螺线，似乎比蠕虫绞尾巴而造成螺线的说法更恰当。
附：
奇妙的幻方
据说很早以前，大禹治水时，河南洛阳附近的大河里浮出了一只乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被大禹彻底制服。后人称之为"洛书"或"河图"。
如果把图形改成现在通行的阿拉伯数字，就成了下图的样子。
4 9 2
3 5 7
8 1 6
我们注意到左面的图形中，九个数字正好是从1到9，既无重复，也没有遗漏，但它们并不是按递增或递减顺序来排列。按照左图的排法，到底有何奥妙呢？
原来，图中任意一横行、一纵列及一条对角线上的三个数字之和全都相等，等于 。具有这种性质的图表称为"幻方"或"纵横图"。上面这个三行三列的幻方就称"三阶幻方"，15是三阶幻方的常数。古代又称三阶幻方为"九宫"。古书上记载："九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，载九履一，五居中央。"
把上面的九宫图旋转90°、180°与270°，再把它们与原图一起画在透明纸上，从反面来观察，这样一共可以得到八个图，但它们并无实质上的不同。
现已证明：三阶幻方只有一种构造方法。南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：只要将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数也对调；最后再把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
杨辉还介绍了四阶幻方的构造法，并列出了4，5，……，10各阶幻方图。
壁虎在捕食昆虫时，总沿着一条螺旋形曲线爬行，这条曲线，即数学上的“螺旋线”。
“瞎子”鼹鼠挖地下隧道时，转弯总是90度。
蜘蛛的“八卦”网，图案美丽、复杂、匀称，人们用尺规也难以画出。
丹顶鹤排成“人”字形迁徙，这“人”字形角度永远是110度。更精确的计算表明，每边与鹤群前进方向的夹角是54度44分8秒，而金刚石结晶体的角度也恰好是这一度数。
真正的“计算天才”是珊瑚虫，它能在自己身上奇妙地记下“日历”：每年在体壁上“刻画”出365条环纹，显然每天刻一条。
奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。
冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。
还有蜂巢的完美省料结构，令许多数学家、建筑学家们汗颜：
蜜蜂没有学过镶嵌理论，圆形织网蛛也没有学过对数螺线。但是正像自然界中的许多事物一样，昆虫和兽类的建筑常常可用数学方法进行分析。自然界用的是最有效的形式——只需花费最少能量和材料的形式。不正是这一点把自然界和数学联系起来的吗？自然界掌握了求解极大极小问题、线性代数问题和求出含约束问题最优解的艺术。
把我们的注意力集中于蜜蜂，可以观察到许多数学概念。
正方形、正三角形和正六边形是仅有的三种自镶嵌正多边形。其中，对于给定面积来说，六边形的周长最小。这意味着蜜蜂在建筑蜂房中的六角柱巢室时，比起用以正方形或三角形为底的棱柱来镶嵌空间的情况，可以用较少的蜡和做较少的工作围出相同的空间。蜜蜂们……依靠某种几何学上的预见……知道六边形大于正方形和三角形，可以用同样的材料储存更多的蜜。
蜜蜂没有学过有关的几何知识，但它们所建筑的蜂房结构却符合了极大极小的数学原则。
对于正方形、正三角形和正六边形来说，如果面积都相等，那么正六边形的周长最小。这意味着蜜蜂选择建筑六角柱巢室，比建正方形或正三角形为底的棱柱巢室，可用较少的蜂蜡和做较少的工作围出尽可能大的空间，从而储存更多的蜜。
现在我们来证明：面积一定的正三角形、正方形和正六边形中，以正六边形的周长为最小。
蜂房的壁由大约1/80英寸（0.073毫米，英制长度单位，1英寸合2.54厘米。——译者注）厚的巢室壁构成，但能支持自身重量的30倍。这就是蜂房给人以沉重感觉的原因。大约14.5英寸×8.8英寸的蜂房能储存5磅多的蜜，而建筑所需的蜡只有大约1.5盎司（英制重量单位，1盎司合28.3495克。——译者注）。蜜蜂用三个斜棱柱截段构成六角柱，巢室壁交接处恰巧成120°角。蜜蜂们同时在不同截段上工作，天衣无缝地筑成一个蜂房。蜂房是垂直向下建筑的，蜜蜂把它们的部分身体用作测量仪器。事实上，它们的头起着测锤的作用。
蜜蜂所拥有的另一迷人的“工具”是“罗盘”。蜜蜂的定向受到地球磁场的影响。它们能探测到地球磁场中只有灵敏磁强计才能辨别的微小涨落。这就是为什么一群蜜蜂在占据一个新的地点时可以在这新领域的不同部分同时开始建筑蜂房而并无任何蜜蜂领导着它们的原因。所有蜜蜂都按照与旧蜂房相同的方向为它们的新蜂房取向。
巢室排得很紧密，蜜蜂已经用半菱形十二面体将端处盖好。此外，蜜蜂所建室壁的斜度是13°，这样可以防止蜂蜜在端顶被蜡帽封盖前流出。
通信联络是又一个令人感兴趣的领域。工蜂经过长途侦察回到蜂房时，以“跳舞”的形式发出一串代码，表明它们找到的食物源的方向。它们能传达食物的方向和距离。跳舞相对于太阳的定向提示食物的方向，跳舞的持续时间则指出距离。同样令人惊奇的是，蜜蜂“知道”两点之间的最短距离是一条线段。或许这是“蜂线”（beeline，即两点之间的线段。）这一术语的可能来源。工蜂在花间随意来去而采集到大量花蜜后，它知道取最直接的路线回到蜂房。蜜蜂是通过它的遗传密码获得数学训练的。从数学的观点分析自然界的各个方面，是一件有趣的事情。对于蜜蜂生活的这一瞥也不例外。我们在这里发现了材料和工作的最优化、平面和空间的镶嵌图案、六边形、六角柱、菱形十二面体、几何定理、磁场、代码和惊人的工程技术。
请看法国的法布尔的《蜘蛛的几何学》
当我们观察着园蛛，尤其是丝光蛛和条纹蛛的网时，我们会发现它的网并不是杂乱无章的，那些辐排得很均匀，每对相邻的辐所交成的角都是相等的；虽然辐的数目对不同的蜘蛛而言是各不相同的，可这个规律适用于各种蜘蛛。
我们已经知道，蜘蛛织网的方式很特别，它把网分成若干等份，同一类蜘蛛所分的份数是相同的。当它安置辐的时候，我们只见它向各个方向乱跳，似乎毫无规则，但是这种无规则的工作的结果是造成一个规则而美丽的网，像教堂中的玫瑰窗一般。即使他用了圆规、尺子之类的工具。没有一个设计家能画出一个比这更规范的网来。
我们可以看到，在同一个扇形里，所有的弦，也就是那构成螺旋形线圈的横辐，都是互相平行的，并且越靠近中心，这种弦之间的距离就越远。每一根弦和支持它的两根辐交成四个角，一边的两个是钝角，另一边的两个是锐角。而同一扇形中的弦和辐所交成的钝角和锐角正好各自相等——因为这些弦都是平行的。
不但如此，凭我们的观察，这些相等的锐角和钝角，又和别的扇形中的锐角和钝角分别相等，所以，总的看来，这螺旋形的线圈包括一组组的横档以及一组组和辐交成相等的角。
这种特性使我们想到数学家们所称的“对数螺线”。这种曲线在科学领域是很著名的。对数螺线是一根无止尽的螺线，它永远向着极绕，越绕越靠近极，但又永远不能到达极。即使用最精密的仪器，我们也看不到一根完全的对数螺线。这种图形只存在科学家的假想中，可令人惊讶的是小小的蜘蛛也知道这线，它就是依照这种曲线的法则来绕它网上的螺线的，而且做得很精确。
这螺旋线还有一个特点。如果你用一根有弹性的线绕成一个对数螺线的图形，再把这根线放开来，然后拉紧放开的那部分，那么线的运动的一端就会划成一个和原来的对数螺线完全相似的螺线，只是变换了一下位置。这个定理是一位名叫杰克斯·勃诺利的数学教授发现的，他死后，后人把这条定理刻在他的墓碑上，算是他一生中最为光荣的事迹之一。
那么，难道有着这些特性的对数螺线只是几何学家的一个梦想吗？这真的仅仅是一个梦、一个谜吗？那么它究竟有什么用呢？
它确实广泛的巧合，总之它是普遍存在的，有许多动物的建筑都采取这一结构。有一种蜗牛的壳就是依照对数螺线构造的。世界上第一只蜗牛知道了对数螺线，然后用它来造壳，一直到现在，壳的样子还没变过。
在壳类的化石中，这种螺线的例子还有很多。现在，在南海，我们还可以找到一种太古时代的生物的后代，那就是鹦鹉螺。它们还是很坚贞地守着祖传的老法则，它们的壳和世界初始时它们的老祖宗的壳完全一样。也就是说，它们的壳仍然是依照对数螺线设计的。并没有因时间的流逝而改变，就是在我们的死水池里，也有一种螺，它也有一个螺线壳，普通的蜗牛壳也是属于这一构造。
可是这些动物是从哪里学到这种高深的数学知识的呢？又是怎样把这些知识应用于实际的呢？有这样一种说法，说蜗牛是从蠕虫进化来的。某一天，蠕虫被太阳晒得舒服极了，无意识地揪住自己的尾巴玩弄起来，便把它绞成螺旋形取乐。突然它发现这样很舒服，于是常常这么做。久而久之便成了螺旋形的了，做螺旋形的壳的计划，就是从这时候产生的。
但是蜘蛛呢？它从哪里得到这个概念呢？因为它和蠕虫没有什么关系。然而它却很熟悉对数螺线，而且能够简单地运用到它的网中。蜗牛的壳要造好几年，所以它能做得很精致，但蛛网差不多只用一个小时就造成了，所以它只能做出这种曲线的一个轮廊，尽管不精确，但这确实是算得上一个螺旋曲线。是什么东西在指引着它呢？除了天生的技巧外，什么都没有。天生的技巧能使动物控制自己的工作，正像植物的花瓣和小蕊的排列法，它们天生就是这样的。没有人教它们怎么做，而事实上，它们也只能作这么一种，蜘蛛自己不知不觉地在练习高等几何学，靠着它生来就有的本领很自然地工作着。
我们抛出一个石子，让它落到地上，这石子在空间的路线是一种特殊的曲线。树上的枯叶被风吹下来落到地上，所经过的路程也是这种形状的曲线。科学家称这种曲线为抛物线。
几何学家对这曲线作了进一步的研究，他们假想这曲线在一根无限长的直线上滚动，那么它的焦点将要划出怎样一道轨迹呢？答案是：垂曲线。这要用一个很复杂的代数式来表示。如果要用数字来表示的话，这个数字的值约等于这样一串数字1＋1/1＋1/1*2＋1/1*2*3＋1/1*2*3*4＋……的和。
几何学家不喜欢用这么一长串数字来表示，所以就用“e”来代表这个数。e是一个无限不循环小数，数学中常常用到它。
这种线是不是一种理论上的假想呢？并不，你到处可以看到垂曲线的图形：当一根弹性线的两端固定，而中间松驰的时候，它就形成了一条垂曲线；当船的帆被风吹着的时候，就会弯曲成垂曲线的图形；这些寻常的图形中都包含着“e”的秘密。一根无足轻重的线，竟包含着这么多深奥的科学！我们暂且别惊讶。一根一端固定的线的摇摆，一滴露水从草叶上落下来，一阵微风在水面拂起了微波，这些看上去稀松平常、极为平凡的事，如果从数学的角度去研究的话，就变得非常复杂了。
我们人类的数学测量方法是聪明的。但我们对发明这些方法的人，不必过分地佩服。因为和那些小动物的工作比起来，这些繁重的公式和理论显得又慢又复杂。难道将来我们想不出一个更简单的形式，并使它运用到实际生活中吗？难道人类的智慧还不足以让我们不依赖这种复杂的公式吗？我相信，越是高深的道理，其表现形式越应该简单而朴实。
在这里，我们这个魔术般的“e”字又在蜘蛛网上被发现了。在一个有雾的早晨，这粘性的线上排了许多小小的露珠。它的重量把蛛网的丝压得弯下来，于是构成了许多垂曲线，像许多透明的宝石串成的链子。太阳一出来，这一串珠子就发出彩虹一般美丽的光彩。好像一串金钢钻。“e”这个数目，就包蕴在这光明灿烂的链子里。望着这美丽的链子，你会发现科学之美、自然之美和探究之美。
几何学，这研究空间的和谐的科学几乎统治着自然界的一切。在铁杉果的鳞片的排列中以及蛛网的线条排列中，我们能找到它；在蜗牛的螺线中，我们能找到它；在行星的轨道上，我们也能找到它，它无处不在，无时不在，在原子的世界里，在广大的宇宙中，它的足迹遍布天下。
这种自然的几何学告诉我们，宇宙间有一位万能的几何学家，他已经用它神奇的工具测量过宇宙间所有的东西。所以万事万物都有一定的规律。我觉得用这个假设来解释鹦鹉螺和蛛网的对数螺线，似乎比蠕虫绞尾巴而造成螺线的说法更恰当。
附：
奇妙的幻方
据说很早以前，大禹治水时，河南洛阳附近的大河里浮出了一只乌龟，背上有一个很奇怪的图形，古人认为是一种祥瑞，预示着洪水将被大禹彻底制服。后人称之为"洛书"或"河图"。
如果把图形改成现在通行的阿拉伯数字，就成了下图的样子。
4 9 2
3 5 7
8 1 6
我们注意到左面的图形中，九个数字正好是从1到9，既无重复，也没有遗漏，但它们并不是按递增或递减顺序来排列。按照左图的排法，到底有何奥妙呢？
原来，图中任意一横行、一纵列及一条对角线上的三个数字之和全都相等，等于 。具有这种性质的图表称为"幻方"或"纵横图"。上面这个三行三列的幻方就称"三阶幻方"，15是三阶幻方的常数。古代又称三阶幻方为"九宫"。古书上记载："九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，载九履一，五居中央。"
把上面的九宫图旋转90°、180°与270°，再把它们与原图一起画在透明纸上，从反面来观察，这样一共可以得到八个图，但它们并无实质上的不同。
现已证明：三阶幻方只有一种构造方法。南宋数学家杨辉，在他著的《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：只要将九个自然数按照从小到大的递增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数也对调；最后再把中部四数各向外面挺出，幻方就出现了。
杨辉还介绍了四阶幻方的构造法，并列出了4，5，……，10各阶幻方图。
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