绵阳市高2015级第二次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准

 

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

DBBCA   CDDCA  BD

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．93             14．-5                   15．1               16．①③④

16题提示：③设|BM|=|BO|=m，|CN|=|CO|=n，

由①得|PM|=|PN|=9．

由题知圆E与x轴相切，于是圆E：x²+(y-2)²=4是△PBC的内切圆，

根据公式S_△PBC= (其中r为内切圆半径，a，b，c为△PBC的边长)得： |BC|•y₀= ×2×2(|PM|+|BO|+|CO|),即 (m+n)×9=2(9+m+n)，解得 ，故S_△PBC ． 

④同③可得 (m+n)•y₀=2(y₀+m+n)， 解得 ，

故S_△PBC ≥32．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解：（Ⅰ）已知 ，

∴ tanB=2tanA，tanC=3tanA，

在△ABC中，tanA=-tan(B+C)= ，………3分

解得tan²A=1，即tanA=-1，或tanA=1．……………………………………4分

若tanA=-1，可得tanB=-2，则A，B均为钝角，不合题意． ……………5分

故tanA=1，得A= ．…………………………………………………………6分

（Ⅱ）由tanA=1，得tanB=2，tanC=3，

可得sinB=2cosB，sinC=3cosC，   ……………………………………………7分

结合sin²B+cos²B=1，sin²C+cos²C=1，

可得sinB= ，sinC= ， (负值已舍) ……………………………………9分

在△ABC中，由 ，得b= ，  …………11分

于是S_△ABC= absinC= ，

∴ =15，解得a=5．………………………………………………………12分

18．解：（Ⅰ）根据题意得：a=40，b=15，c=20，d=25，

∴ ，  ……………………………4分

∴ 在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为网购与年龄有关．……5分

（Ⅱ）根据题意，抽取的9人中，年轻人有 6，中老年人 3人．

于是X=0，1，2，3，

∴ ， ，

， ，

∴ X的分布列为：

X	0	1	2	3
P

             

 

 

 

                                    ………………………………………………………10分

∴ X的数学期望 ．…………………12分

19．解：（Ⅰ）∵ b_n+1 =1+b_n，

    ∴ b_n+1-b_n=1(常数)，  …………………………………………………………3分

∴ 数列{b_n}是以b₁=log₄4=1为首项，1为公差的等差数列，

∴ b_n=1+(n-1)×1=n． …………………………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=n，于是 ，   ………………………………6分

于是(-1)ⁿkb_n<2S_n+n+4等价于(-1)ⁿkn<<i>n²+2n+4，

即等价于(-1)ⁿ ．……………………………………………………7分

①当n为偶数时，原式变为 ，

∵ ≥ =6（当且仅当n= ，即n=2时“=”成立）

∴ n=2时， 取最小值6，

故k<6． …………………………………………………………………………9分

②当n为奇数时，原式变为 ，

令函数f(x)= ，x>0，则 ，

当x∈(0，2)时， ，当x∈(2，+∞)时， ，

即f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，

由f(1)=-7<<i>f(3)= ，即f(n)≥ (n为奇数)，

∴ k> ． ……………………………………………………………………11分

综上所述，k的取值范围为( ，6)．   ……………………………………12分

 20．解：（Ⅰ）设M(x，y)，P(x₀，y₀)， 则D(x₀，0)，

∴ (0，y₀)， =(x-x₀，y)，

由 ，得0= (x-x₀)，y₀= ，即 ，  ………2分

又点P在圆x²+y²=8上，代入得x²+2y²=8，

∴ 曲线C的方程为： ．   …………………………………………4分

（Ⅱ）①当直线AB斜率不存在时，x轴平分∠AQB，x轴上所有点都满足条件．

                                                ………………………………………………5分

②当直线AB斜率存在时，假设存在满足题意的点Q(x_Q，0) ．

可设方程为y=k(x-2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

联立方程组得： 整理得(2k²+1)x²-8k²x+8k²-8=0，

∴ x₁+x₂= ，x₁x₂= ，   …………………………………………8分

∵ ∠AQO=∠BQO，

∴ k_QA+k_QB=0，即 ，    …………………………………10分

将y₁=k(x₁-2)，y₂=k(x₂-2)代入整理得：

2 x₁x₂-(x_Q+2)(x₁+x₂)+x_Q=0，

即 -(x_Q+2)× +4x_Q=0，

化简得x_Q=4，

故此时存在点Q(4，0)，使得∠AQO=∠BQO．……………………………12分

21．解：（Ⅰ）由已知可得 ．

当a<</span>0时， >0，

∴   在R上单调递增，且当 ，不合题意．

当a=0时， ，而-1<1-2ln2，不合题意．…………………3分

当a>0时，由 解得 ，由 解得 ，

∴ 在( ， )上单调递减，在( ，+∞)上单调递增，

∴ _min= = ．

要使 ≥ 恒成立，则须使 ≥ 恒成立，

令 ，则 ，

显然当0<<i>a<1时， >0，当a>1时， <0，

于是函数 在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)单调递减，

∵ =0， = ，

∴ a的最大值是2．……………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2， ，

故 ．

令h(x)= ，(x>1，k∈N*)

存在x₀>1，使得h(x₀)<0成立，即h(x)_min<0．………………………………8分

又 ，

当k=1时， >0，h(x)在(1，+∞)上单调递增，

而h(1)= >0不合题意．

当k≥2时，由 >0解得x>2k-1，由 <0解得1<<i>x<2k-1，

即h(x)在(2k-1，+∞)上单调递增，在(1，2k-1)上单调递减，

∴  h(x)_min=h(2k-1)= ．  ……………………………………10分

令 ， 则 ，

∴  在 上单调递减，

∵  ≤ ，

∴ 正整数k的最小值为2．……………………………………………………12分

22．解：（Ⅰ）将直线l的参数方程消去参数得 ，

即l的普通方程为 ．

将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x²+y²-2x-2y+1=0． …………5分

（Ⅱ）将 代入C：x²+y²-2x-2y+1=0中，

整理得 ，

由韦达定理： ，  ……………………………………8分

故 ．   …………………………………………………10分

23．解：(Ⅰ) m=1，

当x≤ 时，f(x)=3-x，由f(x)<6解得x>-3，综合得-3<<i>x≤ ，

       当x> 时，f(x)=3x+1，由f(x)<6解得x<<span style="position:relative; top:11.0pt;mso-text-raise:-11.0pt"> ，综合得 <<i>x<<span style="position:relative;top:11.0pt;mso-text-raise:-11.0pt"> ，

所以f(x)<6的解集是 ． ………………………………………………5分

（Ⅱ）当x> 时，f(x)=(2+m)x+1．

当x≤ 时，f(x)=(m-2)x+3，要使得f(x)有最小值，则

解得-2≤m≤2，且由图像可得，f(x)在x= 时取得最小值 m+2．

y=-x²+x+1在x= 时取得最大值 ，方程f(x)=-x²+x+1有两个不等实根，

则 m+2<</span> ，解得m<</span>- ．

综上所述，m的取值范围为-2≤m<</span>- ．……………………………………10分