绵阳市高2015级第二次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准

 

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

DDCAC   CCBBA  BD

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．95               14．106.5               15．4                  16．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解：（Ⅰ）已知 ，

∴ tanB=2tanA，tanC=3tanA，

在△ABC中，tanA=-tan(B+C)= ， ……3分

解得tan²A=1，即tanA=-1，或tanA=1．  ……………………………………4分

若tanA=-1，可得tanB=-2，则A，B均为钝角，不合题意． ……………5分

故tanA=1，得A= ．  …………………………………………………………6分

（Ⅱ）由tanA=1，得tanB=2，tanC=3，即sinB=2cosB，sinC=3cosC，

                                                       …………………………………………7分

结合sin²B+cos²B=1，sin²C+cos²C=1，

可得sinB= ，sinC= ， (负值已舍) ……………………………………9分

在△ABC中，由 ，得b= ， …………11分

于是S_△ABC= absinC= ． ……………………………12分

18．解：（Ⅰ）根据题意得：a=40，b=15，c=20，d=25，

∴ ，   ……………………………4分

∴ 在犯错误的概率不超过0.005的前提下可以认为网购与年龄有关． ……5分

（Ⅱ）根据题意，抽取的6人中，年轻人有 4人，分别记为A₁，A₂，A₃，A₄，中老年人 2人，分别记为B₁，B₂．…………………………7分

则从这6人中任意选取3人的可能有

(A₁，A₂，A₃)，(A₁，A₂，A₄)，(A₁，A₂，B₁)，(A₁，A₂，B₂)，(A₁，A₃，A₄)，

(A₁，A₃，B₁)，(A₁，A₃，B₂)，(A₁，A₄，B₁)，(A₁，A₄，B₂)，(A₂，A₃，A₄)，

(A₂，A₃，B₁)，(A₂，A₃，B₂)，(A₂，A₄，B₁)，(A₂，A₄，B₂)，(A₃，A₄，B₁)，

(A₃，A₄，B₂)，(A₁，B₁，B₂)，(A₂，B₁，B₂)，(A₃，B₁，B₂)，(A₄，B₁，B₂)，

共20种，…………………………………………………………………………9分

其中，至少一个老年人的有

 (A₁，A₂，B₁)，(A₁，A₂，B₂)，(A₁，A₃，B₁)，(A₁，A₃，B₂)，(A₁，A₄，B₁)，

(A₁，A₄，B₂)， (A₂，A₃，B₁)，(A₂，A₃，B₂)，(A₂，A₄，B₁)，(A₂，A₄，B₂)，

(A₃，A₄，B₁)， (A₃，A₄，B₂)，(A₁，B₁，B₂)，(A₂，B₁，B₂)，(A₃，B₁，B₂)，

(A₄，B₁，B₂)，(A₁，A₂，B₁)，(A₁，A₂，B₂)，(A₁，A₃，B₁)，(A₁，A₃，B₂)，

(A₁，A₄，B₁)，

共16种， ………………………………………………………………………11分

∴ 所求的概率为 ．  ……………………………………………………12分

19．解：（Ⅰ）∵ b_n+1 =1+b_n，

    ∴ b_n+1-b_n=1(常数)，  …………………………………………………………3分

∴ 数列{b_n}是以b₁=log₄4=1为首项，1为公差的等差数列，

∴ b_n=1+(n-1)×1=n． …………………………………………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=n，于是 ，   ………………………………6分

于是(-1)ⁿkb_n<2S_n+n+4等价于(-1)ⁿkn<<i>n²+2n+4，

即等价于(-1)ⁿ ．……………………………………………………7分

∵ n为正奇数，

∴ 原式变为 ，

令函数f(x)= ，x>0，则 ，

当x∈(0，2)时， ，当x∈(2，+∞)时， ，

即f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减，

由f(1)=-7<<i>f(3)= ，即f(n)≥ (n为奇数)，

∴ k> ． ……………………………………………………………………12分

20．解：（Ⅰ）设M(x，y)，P(x₀，y₀)， 则D(x₀，0)，

∴ (0，y₀)， =(x-x₀，y)，

由 ，得0= (x-x₀)，y₀= ，即 ， ………2分

又点P在圆x²+y²=8上，代入得x²+2y²=8，

∴ 曲线C的方程为： ．  …………………………………………4分

（Ⅱ）假设存在满足题意的点Q(x_Q，0) ．

设直线AB的方程为y=k(x-2)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．

联立方程组得： 整理得(2k²+1)x²-8k²x+8k²-8=0，

∴ x₁+x₂= ，x₁x₂= ，  …………………………………………8分

∵  k_QA+k_QB= ，

将y₁=k(x₁-2)，y₂=k(x₂-2)代入整理得：

2x₁x₂-(x_Q+2)(x₁+x₂)+4x_Q=0，          …………………………………………10分

即 -(x_Q+2)× +4x_Q=0，

化简得x_Q=4，

故此时存在点Q(4，0)使得直线AQ，BQ的斜率之和为0．………………12分

21．解：（Ⅰ）对 求导可得 ．  …………………………………1分

∵ a>1，

于是由 解得 ，由 解得 ，

∴ 在( ， )上单调递减，在( ，+∞)上单调递增，  …………3分

∴ _min= = =1-2ln2．

令 ，则 ，

由a>1知 <0，于是函数 在(1，+∞)单调递减，

又 ，

∴ a的值是2．…………………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2， ，

故 ，

变形得 ．……………………………………………………………8分

令函数h(x)= ，则 ．

令函数 ，则 ，

又 ， ，

∴ 存在t∈(2，3)，使得 ．

当x∈(0，t)， ，故 ， 在(1，t)单调递减；

当x∈(t，+∞)， ，故 ， 在(t，+∞)单调递增．

故 = ．  …………………………………………………10分

又 ，故 ，

故 = ，

又t∈(2，3)，故 ，

故正整数k的最小值是2．……………………………………………………12分

22．解：（Ⅰ）将直线l的参数方程消去参数得 ，

即l的普通方程为 ．

将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x²+y²-2x-2y+1=0． …………5分

（Ⅱ）将 代入C：x²+y²-2x-2y+1=0中，

整理得 ，

由韦达定理： ，  ……………………………………8分

故 ．   …………………………………………………10分

23．解：(Ⅰ) m=1，

当x≤ 时，f(x)=3-x，由f(x)<6解得x>-3，综合得-3<<i>x≤ ，

       当x> 时，f(x)=3x+1，由f(x)<6解得x<<span style="position:relative; top:11.0pt;mso-text-raise:-11.0pt"> ，综合得 <<i>x<<span style="position:relative;top:11.0pt;mso-text-raise:-11.0pt"> ，

所以f(x)<6的解集是 ．  ………………………………………………5分

（Ⅱ）当x> 时，f(x)=(2+m)x+1．

当x≤ 时，f(x)=(m-2)x+3，要使得f(x)有最小值，则

解得-2≤m≤2，且由图像可得，f(x)在x= 时取得最小值 m+2．

y=-x²+x+1在x= 时取得最大值 ，方程f(x)=-x²+x+1有两个不等实根，

则 m+2<</span> ，解得m<</span>- ．

综上所述，m的取值范围为-2≤m<</span>- ．      ……………………………………10分