方差与标准差

金坛市尧塘中学    钱潜

教学目标：1．了解方差概念的产生和形成的过程,会用方差计算公式来比较两组数据的波      动大小．

           2．经历探索方差，标准差的应用过程，积累分析数据经验．

教学重点：方差产生的必要性和应用方差，标准差公式解决实际问题．

教学难点：理解应用方差，标准差对数据分析的实际意义．

教学过程：

一，自主探究

1.复习：

（1）如何求一组数据的极差？

（2）请举例说明极差在实际生活中的应用．

2．活动一：自学课本第45页的以下内容．

乒乓球的标准直径为40mm，质检部门从A，B两厂生产的乒乓球中各抽取了10只，对这些乒乓球的直径了进行检测．结果如下（单位：mm）：

A厂：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；

B厂：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2.

你认为哪个厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢?

（1）请你算一算它们的平均数和极差．

（2）是否由此就确定两厂生产的乒乓球直径同样标准？

今天我们一起来探索这个问题．

二，自主合作

通过计算发现极差只能反映一组数据中两个极值之间的大小情况，而对其他数据的波动情况不能较好反应，现在让我们一起来做下列的数学活动

3．活动二：

（1）画一画：看上面数据绘成的图，说出哪组数据与平均数的偏差较大？     

            直径/mm                                 直径/mm

A厂                                        B厂

（2）填一填：计算这两组数据中每个数据与平均数的差．                            A厂

                                                                                  B厂

三、自主展示

4．活动三：

（1）算一算：把所有差相加，把所有差取绝对值相加，把这些差的平方相加．

（2）说一说：你认为“算一算”中哪种算法的结果能反映数据的波动情况？你认为还有更好的算法吗？

5．描述一组数据的离散程度可采取许多方法，在统计中常采用方差来衡量一组数据的波动大小．

自学方差定义及例题的解过程，然后回答下列问题：

（1）说说公式中每一个元素的意义？

（2）谈谈方差的作用？

（3）说出求一组数据方差的步骤：

6．（1）方差的单位与原数据的单位相同吗？

应该如何办？

（2）标准差：方差的算术平方根，即

并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要的量.

四、自主拓展

1．P47  练习  1，2.

2．(1)某样本的方差是9，则标准差是______.

(2)一个样本的方差是 ，则这个样本中的数据个数是____，平均数是____ .

3．已知三组数据1，2，3，4，5；11，12，13，14，15和3，6，9，12，15．

（1）求这三组数据的平均数，方差和标准差．

（2）对照以上结果，你能从中发现哪些有趣的结论？想看一看下面的问题吗？

请你用发现的结论来解决以下的问题：

已知数据a₁，a₂，a₃，…，a_n的平均数为X，方差为Y，标准差为Z．则

②  据a₁+3，a₂ + 3，a₃ +3 ，…，a_n +3的平均数为     ，方差为     ，标准差为      　  ．

②数据a₁-3，a₂ -3，a₃ -3 ，…，a_n -3的平均数为       ，方差为        ，标准差为   　  ．

③数据3a₁，3a₂ ，3a₃ ，…，3a_n的平均数为      ，方差为         ， 标准差为           ．

五，自主评价

1.本节课你学到了哪些知识？

2本节课中你最大的收获是什么？

教学反思：本节课通过对实际问题的讨论，使学生理解用方差和标准差来描述一组数据的稳定程度的合理性，并通过全体学生参与数学问题的解决，使学生体会科学探究的方法，培养学生学科学、用科学、爱科学的科学态度。但在实际教学中，有些同学懒于动脑，不愿动手，只是在盲从其他同学的思路，缺乏学习兴趣和动力，需要特别关注，给予激励。
　　怎样的课堂教学是有效的？我们认为：适合的就是有效的；参与度高的就是有效的；有序的就是有效的.从这三个角度我们来审视本节课，我们会有这样一些启发和借鉴：
　　1、  本节课的每一个环节，均紧紧围绕着教学目标进行，提供给学生充分的动手操作与思考、交流的时间、空间，学生的参与度高，教师的主导作用和学生的主体地位把握地恰当、到位.
　　2、  本节课采取的教学组织形式，以学生操作和独立思考为主，从概念的建立形成到，总是将学生自主的思想与操作贯穿始终，重视学生自我经验的积累和丰富，把方差概念的形成作一步步引导，在知识形成的过程中又可以把学生存在的疑问解决到位。这种学习方式和节奏，符合学生的认知心理和规律。
　　3、  在合作探索中体现了一个数形结合的思想方法， 而且利用变式，知识有一定的梯度性。
　　另外在探讨方差的过程中，对于求差后出现有正有负的情况，有些同学首先想到求这些差的绝对值，对此在教学中虽然给予了肯定，但对于这种方法与平方相比的劣势解释不够清楚，需要思考分析，用更简洁的语言来解释。
　　但在教学过程中计算的过程可以时间节省些，在最后的环节的处理上还不够到位，学生的反映不够积极，课堂的活跃程度不够。这需要在今后的教学过程中继续加强锻炼。